16面体内部に入れ込んだケプラーの星形８面体構造
■１■朝起きてぼんやり綿棒多面体の16面体を眺めていた。この16面体はフランク・カスパー相における原子配位数16に対応する配位殻のボロノイ領域の形状で、ほぼ正５角形に近い４等辺５角形が12面と正６角形が４面から構成されているもので、同様の12、14、15面体と共に綿棒多面体で作ってみたものだ。
■２■14面体と15面体同様この16面体も３次元空間では僅かに歪んでいるので、正多面体や準正多面体に含まれていない。ほぼ正５角形に近い４等辺５角形が12面と正６角形が４面からなるこの16面体は、５角形３面が１点に集まる４ユニットと６角形４面とが、正４面体の４点と４面の位置関係になっている。
16面体内部の様々な正４面体構造
■３■眺めているうちに、４面ある正６角形の中心同士は、綿棒２本ずつで繋げることができるのではないかと思った。そこで補強のために付けた３角形の隙間から指を突っ込んで、難儀しながら繋いでみたらどんぴしゃだった。その形は２倍体の正４面体になった。さらにその中心に正８面体も仕込んでみた。
■４■正８面体の残る４面にも正４面体も入れ込んで、ケプラーの星形８面体にも出来るのではないか？案の定入れ込むことができた。新しい頂点は最初の３つの５角形が集まる中心点の真下に来る。頂点には接続しないフロー状態なのだが、５角錐の頂点３つが各頂点近くを３方から支える構造になっている。
１辺１単位の16面体、５芒星と６芒星の16面体、竹ひご製の16面体
■５■複雑な計算は何もしていないが、作ったり眺めたりすることで３次元空間の幾何学的概念を直感的に捉えられることは多々ある。正８面体の各面に正４面体を８つ付けてケプラーの星形８面体を作ったことがある人ならば、誰でもこの16面体の内側に自力で作り入れることが可能なのだと理解するだろう。
■６■さらに正６角形の中心と５角形の中心(正確には５角錐の頂点)も１単位で接続できることに気づき、全てを接続してみた。するとこの形状が、反ワンダース12に24本を加えた｢時の箱｣が、正４面体に変形する途中の形と同じである事に気が付いた。つまりこの内部にもさらに多重構造があり得るのである。
参考動画⇒ YOUTUBE ■16面体にぴったり収まるケプラーの星形８面体
20231208
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