■１■５角形と６角形で作る面棒多面体と言えば、すぐに思いつくのが５角形12面と６角形20面からなる32面体、すなわちアルキメデス立体である切頂20面体(バッキーボール)だろう。しかし殆ど知られていないが、５角形12面と６角形がそれぞれ２,３,４面からなる14面体,15面体,16面体という立体がある。
■２■固体の結晶構造は規則正しい原子配列からなるとされているが、それとは異なる原子クラスターと呼ばれる複雑な配列構造もある。フランク-カスパー相において12,14,15,16配位の原子を囲むボロノイ領域(※)は12,14,15,16面体であり、それぞれ12個の５角形と０,２,３,４個の６角形の面からなっている。
５角形12面のと｢正12面体｣と、５角形12面＋６角形２面の｢14面体｣
■３■これ以上専門の表現をすることは控えるが、この配位12の原子を囲むボロノイ領域の12面体というのは正12面体のことだ。そして配位14,15,16のそれが、６角形がそれぞれ２,３,４個加わった14面体,15面体,16面体である。正12面体以外の５角形は正５角形から僅かに歪むが、トポロジー的には変らない。
■４■綿棒でこれらの多面体モデルを作る場合、辺長が基本の１単位でみな同じになり、僅かな歪みは表現できないので近似の立体となるが、多面体の構造として概念的に捉えるにはさほど大きな問題ではないだろう。これは５芒星と６芒星の組み合わせでも表現できるが、まずは１辺が１単位から見てみよう。
５角形12面と６角形３面の｢15面体｣と､同４面の｢16面体｣
■５■なお14配位多面体は歪んだ
bcc構造(※)の局所構造としても同定されているが、16配位多面体は基本構造単位の１つであることが明らかになっているので、特に16面体は単なる配位構造多面体としてだけでなく、立体幾何学的な綿棒多面体として、様々な内部構造や変形特徴なども見ていくことにしたい。
■６■この１辺１単位の綿棒多面体における正６角形は補強として内部に６本入れた平面になり、正５角形は内部に５本入れた凹５角錐になっている。ぱっと見はその区別がつかないが、よく見ると補強部分が平面か引っ込んでいるかで区別がつく。また16面体は内部構造として正４面体の対称性を孕んでいる。
---------------------------------------------------------------------------
(※)ボロノイ領域…空間内に複数個の点がある時、どの点に一番近いかによって分割された、各点
の影響力の及ぶ領域。。
(※)bcc構造(体心立方格子構造)…結晶構造の一で、立方体形の単位格子の各頂点と中心に
原子が位置する。
(※)『ミクロの世界の立体幾何学』(丸善出版)を参考にした。
参考動画⇒YOUTUBE ■「複合４面体構造の12,14,15,16面体」
20231208
Friday
|
