ロリポップ模様の正20面体に収まった20個の正８面体を２つの角度から
■１■プラトン立体には３-４-５という縛りがある。面形が正３,４,５角形なのは正４面体、正６面体、正12面体であり、みな１点には３本の線が集中する。また頂点に集まる線数が３,４,５本なのは正４面体、正８面体、正20面体であり、みな面の形は正３角形になっている。正４面体は双方に重なっている。
■２■正４面体の正反ダ・ヴィンチの星、正８面体の正反ワンダース12を見て来たが、面形が正３角形のプラトン立体にはあと１つ、正20面体が残っている。各面に正４面体を付けるとダ・ヴィンチの星になる。さらに頂点−重心の距離が各辺より約19／20と短いので、正４面体を入れ込んでも特に面白くない。
左より正20面体に正８面体を２個、８個、11個、14個入れ込んだ形状。
■３■そこで残された正20面体と正８面体の関係で見てみることにしよう。正20面体の各面から内側に正８面体を入れ込んだら、どんな形状になるかを見ていくことにしよう。まず枠としての正20面体の線を明確にするために、ロリポップという模様で着色を施し、入れ込むベビー綿棒は無着色で作ってみよう。
■４■綿棒の太さと重なり具合などは不明のまま、取り敢えず綿棒を１本ずつ入れ込んで、内部で正８面体を組み立てていくと、制作過程で内部相互の関係や対称性も少しずつ見えてくる。なおこの作業では指が届かない場合や両端の位置確認等に、ピンセットを用いると僅かではあるがストレスが緩和される。
枠としての正20面体と、そこから取り外した内部構造体
■５■20個全てを入れ込む作業は丁寧さとかなりの根気が必要になる。内部では互いの綿棒が支え合うので、最終的には強固な構造体になる。枠として用いた正20面体を外して完成した構造物を取り出すと、その立体は一見小星形12面体のような形状に見えるが、１つの頂点には２倍の10本の線が集まっている。
■６■取り出した正20面体の点でもあった各頂点をよく見ると、その角錐の根本部分に５芒星の形が見える。内部に入れ込んだ正８面体の頂点は全て４本が集まっているが、その頂点と線が組み合わさってその形に見えるのだ。さらにその等距離の頂点間を繋ぐと、そこに切頂20面体の形があるのが見えてくる。
正20面体を界面あるいはベシカパイシスとして内外の対称性を見る。図右はセクションＳ制作。
■７■正20面体の外側に正８面体を20個付けると20-12面体になり、さらに綿棒を外側に接続展開するとバッキーボールになった。また同様に正20面体の内側に正８面体を20個入れ込むと、その反対側に達した頂点が切頂20面体の形になる。さらにこの構造体の内部には、５重回転対称性の球状空間ができている。
■８■これらのことから、正20面体をミクロ-マクロ方向の対称性の界面として捉え見ることができよう。実際のところ綿棒多面体の正20面体には線枠はあるが面そのものはない。この正20面体をミクロ側とマクロ側が重なる２重体としても考えられるし、元々の本体の正20面体との３重構造としても見て取れる。
反対側から入れ込んだ正８面体の頂点をつなぐと切頂20面体になる
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on 20231204 Monday
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