#008 正４面体上の正反ダ・ヴィンチの星

■１■先ず正４面体のダ・ヴィンチの星を見てみよう。４面に正４面体を４つ乗せるので、１つを中心とした５つの正４面体のクラスターのような形になる。では内側に展開する反ダ・ヴィンチの星だとどうなるだろう。全く同型の正４面体を入れ込むので、単体の正４面体を５重の正４面体と見ることになる。

■２■正４面体に対して１つ次元が上の正５胞体の１つの在りようが、１つの正４面体でありながら５重でもあるという存在の形だ。さて今回は正４面体の面でなく、注目するのは６本ある線の方だ。面点変換に対して線胞変換という表現をしているのだが、線を正４面体に変換したらどうなるかを見ていこう。

■３■先ず１本の線に正４面体を１つ接続すると、線で接続している２つの正４面体対になり、どちらが主なのかも分からなくなる。６本の稜線に６つの正４面体を接続させると、元の正４面体の４面の上方に隙間がある不安定な７つの正４面体クラスターになるが、逆向きの正３角形を乗せると安定しそうだ。

■４■この間隙部分を正３角形４つで蓋をすると、この立体は切頂４面体に固定することが分かった。なおこの間隙部に正３角形ではなく１辺１単位の正４面体を４つ付けると、結果として３倍体の正４面体になる。なお各線から正４面体を内向きに付けても、７重と表現される単体の正４面体にしか見えない。

■５■なお３倍体の正４面体は、その４つの面心のみに頂点で接続している、１辺１単位の最初の正４面体の(３×３×３＝)27倍になっており、切頂４面体は23倍であることが分かる。正６面体と正８面体は２度の面点変換で最初の立体と体積比が１：27になるが、正４面体は１度で１：27になってしまうのだ。

■６■なお正４面体のダ・ヴィンチの星はそれだけでは固定して動かないが、最初の正４面体を枠として捉えて外してしまうとどうなるだろう。３角錐を作っていた12本だけが残り、頂点には３本ずつの線が集まっているので、不定形だが上手く形を整えれば、それはそのまま正６面体になるという事が分かる。

20231201 Friday