■１■｢時の蕾｣は内部に大いに稼働する｢時の種｣を内包するが、その最外層は固定して変動しない菱形12面体だ。菱形12面体を面点変換すると、その双対立体であるベクトル平衡体になる。菱形12面体の要素は点14、線24、面12であり、ベクトル平衡体のそれは点12、線24、面14であり、面と点が反転している。 ■３■正６面体と正８面体は双対立体だ。正６面体の面心を繋ぐと正８面体になり、正８面体の面心を繋ぐと正６面体になる。これを面点変換と表現する。ここには頂点と面心を交互に連結する軸が７本ある。またこの２立体は線数が共に12であり、面点変換ごとに線心を中心に90度回転する対称軸が６本ある。
■４■正６面体と正８面体はこの(７＋６＝)13本の回転対称軸を重ねると、面点変換と面点変換の間に相貫体を作る位置がある。そこでの２立体の線は直交し、線長比は１：√２になる。この正６面体と正８面体の相貫体の頂点をつなぐと菱形12面体となる。従って菱形12面体各面の対角線比は１：√２となる。
■６■ベクトル平衡体の線数は12だが、この本数だけで綿棒多面体を作っても８面ある正３角形部は変らないが６面ある正方形部は重力によって歪み変形する。ところでベクトル平衡体はその名前の由来通り、立体の辺長と重心と頂点の距離が等しいので、内部に12本入れ込んで補強することで歪まず自立する。 ■７■前にプラトン立体の各面の外と内に正多角錐を付ける、正反ダ・ヴィンチの星という形体を見てみた。ベクトル平衡体はプラトン立体ではないが、この正反ダ・ヴィンチの星と同様の操作を考えることは可能だ。先ず反ダ・ヴィンチの星的操作と、内部に補強したベクトル平衡体とは同じ操作だと分かる。
■８■次に外側補強を見てみよう。先ず正４角錐を６つ付けると、２倍体の正８面体になることが分かる。次に正３角錐(正４面体)を８つ付けると、変形した星形８面体あるいは星形に歪んだ正６面体のような形になる。これに似た形状は後日見ていく事になるが、今回はこれを直交３軸を示すガイド枠とする。
■10■その後、外部側からの補強でもあった正３角錐８つを取り外してみよう。結果としてベクトル平衡体にさらに直交３軸の６本綿棒を補強することで、５重回転対称性を有する正20面体へと変形していることが分かるだろう。 20231201 Friday |
