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■１■例えばシンプルに１，２，３，４の数を４頂点にプロットしてみよう。それぞれの点は１，２，３，４だが、６本の関係線のそれぞれの２数の和は３，４，５，５，６，７となる。そして４つの正３角形の３数の和は６，７，８，９となり、正４面体の胞の４数の和は10となる。これを合わせると上図のようになる。全体を見ると対称性が見て取れる。テトラクティスの立体的な見方であるとも言えようか。

■２■正４面体の４頂点に数字１，２，３，４をプロットしたまま、４つの面と４つの頂点からなる<面心－頂点>の４本と、６本の線からなる<線心－線心>の３本の合計７本の正４面体の回転対称軸を、記号代わりの数字の和として数え見ると、下図のような具合になる。用いている数が１，２，３，４だからその合計が10になるのは自明だが、これをテトラクティスの拡張バージョンとして見ることもできよう。

■３■これは余談だが、福岡在住の理学博士Ｈ.Ｓ.氏は、人間の意識は「２ｘ２」という意識と「３＋１」という意識の間を行き来していると表現している。「２ｘ２」とはものごとを双対構造で捉える２元論的概念で、これから論理構造が形成されている。これに対し「３＋１」とは現実世界に対応して、３次元空間＋時間１次元という時空構造や、物質の階層構造などの一対多の構造概念をつくると捉えている。

■４■素粒子物理学は３＋１の世界を突き詰め、３（クォーク）と１（電子）まで発見したけれど、それ以上先に進むことができなくなってしまっている。Ｈ.Ｓ.氏はまた２×２の世界が３＋１の世界に投影されたものが素粒子であり、その代表例がそれらのスピンであるとシンプルに喝破している。２つのスピン１／２の合成則（３重項と１重項に分かれる）は、２ｘ２＝３＋１の一例であると彼は表現している。

　　

■５■クォークの分類においてもこの「２ｘ２」という意識と「３＋１」という意識の反映として、２（アップ－ダウン、電子－ニュートリノ）ｘ２（粒子、反粒子またはクォークとレプトン）ｘ３（３世代、３つのクォークで陽子が構成される）という関係構造がある。またＳＵ（２）群における３つのパウリ行列の取り方（４つのものを２ｘ２の組にする分け方でこれは３通りある）にもそれが見て取れる。

■６■４が３+１に分かれる例として、自然界の４つの力のうち、重力だけが他の３つと大きく性質が異なっていること、電弱相互作用が３つのボゾン（Ｗ＋、Ｗ-、Ｚ）を持つ弱い相互作用と１つのゲージボゾン（光子）を持つ電磁相互作用に分かれること、４つ以上のクォークからなる複合粒子は未だ未発見であることなどを上げている。素粒子物理に関して、取りあえず今はこれ以上深く踏み込まないことにする。

４の歌第16曲　