E015

■１■プラトンが紀元前387年にアテナイに開設した学園アカデメイアの門には「幾何学を知らぬ者、くぐるべからず」との額が掲げられていたという。現今では哲学や論理展開をする時に、幾何学が不可欠だとは考えられていない。しかしそれは幾何学的発想や視覚的イメージの使用禁止ということではない。

■２■思考や概念を単なる言語や記号で伝え合うよりも、私たちの身体感覚とも連動している空間認識や基本的な数理感覚とも乖離しない、初歩的な幾何学表現を織り交ぜて展開することで、話の内容が腑に落ちたり、直観的に理解できることもある。ということで少しだけ幾何学的な数や形の話をしてみよう。

　　

■３■「３から４へ」を元にした最もシンプルなフラクタル図形に「コッホ曲線」というものがある。３等分した線分の真ん中の部分を２倍長にして、60度立ち上げるという簡単な操作をすると、結果として全体は最初の４／３の長さになる。この操作を分割された各線分に繰り返す事で得られる図形のことだ。

■４■この再帰的な処理を繰り返すと、自己相似図形はどんどん小さくなっていき、途中から細部が見えなくなっていく。気がつけば目の前の図形から、いつの間にか頭の中の概念に置き換わっている。数学的に表現すれば発散して無限大になる。長さがなくなってしまうと言った方が分かり易いかも知れない。

■６■このフラクタル次元はlog４／log３＝1.26186…次元である。自己相似図形が繰り返し増殖するのは一意で自己言及的でもある。ここに自己言及は不完全であるということを読みとるのは拡大解釈に過ぎるが、３→４の操作（正確には１→４／３の操作）を繰り返すだけで無限大になるということである。

　　

■７■ また「コッホ雪片」というものもある。正３角形の各辺をコッホ曲線にする操作を考えてみよう。第２段階で向きが逆の正３角形の自己相関の図形になる。つまり真ん中に正６角形の線が抜けた６芒星の形になるのだ。線の長さも面積も共に最初の４／３となっている。この操作を繰り返えしてみよう。

■８■周囲の長さが無限になるのに、計算ではこのコッホ雪片の面積は1.6になるのだ。周囲の長さが発散するのに、内部の面積は収束するという表現をする。３分割して４倍するのは三分損益法やピュタゴラス音階にも似ている。３と４の関係と表現したが、その真中部分だけを見ると１と２の関係でもある。

　　

■９■３→４のコッホ曲線の単位長１を半径にして円を描くと、上図左のように互いに相手の中心と周長を共有する「ベシカパイシス」になる。この４単位を３単位に戻さずそのまま直線に戻すと、上図右のようにベシカパイシスだった２つの円は１点で接する対円となる。２円の横の長さの比は３：４である。

■10■３→４のコッホ曲線の中心１／３が２倍になる部分をベシカパイシスの中心部に示したのが下図左だ。正３角形の３辺上の１：２の関係でもある。つまり正３角形自体をコッホ曲線の部分と考えたり、普通の線分をコッホ曲線の部分としても見て取れるのである。３と４の間もまた１つ閉じているのだ。

　　

■11■ベシカパイシスの内部には√１＝１、√２、√３、√４＝２、√５という虚数ペンターブが見て取れるばかりでなく、今見た通り１、２、３、４という実数のペンターブも見て取れるということだ。このコッホ曲線のフラクタル次元1.26186…が１＋φ^２／10＝1.2618034…に近似していることも興味深い。

■12■１次元はコッホ曲線、２次元はコッホ雪片、では３次元は？基本の正４面体で考えてみれば、第２ステップはケプラーの星型８面体、第３ステップは１／４の小さい正３角形面からさらに小さい正４面体が立ち上がる。以下繰り返し。コッホ雪片(正３角形→平面のダビデの星)を１つ次元を上げる発想だ。

　　

４の歌Ｅ第15曲　