B015

■１■もう30年程昔の話だが、福岡に遊びに行った時、藤原さんという物理学者に会ったことがある。後にＢＯＢに相対性理論の詳細を教授したという彼は、マッドサイエンティスト臭を漂わせながら、卓上に並ぶ料理を、「このプロトンとエレクトロンの絡み具合が絶妙に美味い」とか言いながら食べていた。

■２■彼は私たちを試すように「立体螺旋をイメージできるか？」とか「光は粒子でありながら波でもあるとはどういうことか？」などという問いかけをした。粒子と波動の二重性に関する問いに対して私は、「１つのドーナツを垂直に切った時見える、２つの断面みたいなものですかね」と答えた記憶がある。

■４■当時のニューサイエンス本の中にあった、次元が変われば見え方が変わるという概念図を思い出しての、思い切り背伸びした答えだった。当時の様々なエピソードは別所で紹介することにするが、私は当時からこの様々な世界観の概念を重ねてプロットできそうな、トーラスという形に興味を持っていた。

■５■黄道12星座の１つである牡牛座トーラスは<Taurus>だが、ドーナツ型の幾何学立体のトーラスは<Torus>だ。日本語では同音異義であるこの２語は文脈で明確に区別されるけれど、このトーラスの形が好きな私が牡牛座で、５年後にハンドルネームを痴性体トーラスとしたからネットでは少しややこしい。

　　

■６■さて、トーラス上のどの点を取っても、そこで交差する３種の円が存在する。すなわち(１)トーラスのＷ１面と平行な大円…赤色、(２)トーラスのＷ２面と平行な小円…青色、そして(３)Ｗ１面とは30度、Ｗ２面とは60度傾斜した切断面と重なる中円…緑の３種である。これを踏まえて話を進めていこう。

■７■トーラス上の１点には必ず３種の円が描けるが、この３種の円でトーラスを切断すると（１）は穴側と外側に２つの円が描かれ、（２）は180度離れた位置で同じ大きさの２つの円が描かれ、（３）は穴を介して互いに交差しつつ必ずペアになる、同じ大きさの２つの円が描かれる。３種６個の円である。(※)

■８■下の図はこの３種の円でトーラスを切断した時の、真横と真上から見た２面図だ。切断位置を赤い直線で示し、切断面は着色してある。右図に示した３番目の円は非常にデリケートで、イメージだけでトレースするのは簡単ではない。穴を介して曲面を斜めにぐるりと回りながら元に戻る双対の円である。

　　

■９■このようにトーラスの中心穴を介して２つの円が対称的に重なった形は、これを研究したフランスの数学者イヴァン・ヴィラルソーにちなんで「ヴィラルソー円」と呼ばれている。下図はトーラスに対して傾いている切断面を水平にして、ヴィラルソー円が楕円対ではなく双対円であることを示している。

　　

■10■なおこれらの図は、（２）の断面円とトーラスの穴の直径が同じ長さの「単位トーラス」で描かれている。１つ穴のトーラスは中心穴が本体より遥かに大きいものから、穴がただの１点であるもの（概念的には穴が埋まり本体に２重に重なったものも有る）まで様々な形状があるが、３種の円は存在する。

■11■これらトーラスの上にある３種６個の円の、どの種類の円のペアでも、１つのトーラスの上にあると言う意味では、どれも二而不二の形と見ることができる。「単位トーラス」の上にある３番目の「ヴィラルソー円」は、互いの円と円周を共有する「ベシカ・パイシス」という名前の特別な形状でもある。

　　

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（※）５種類しかないプラトン立体の３種の双対立体の組「正４面体－正４面体」「正６－正８面体」「正12面体面体－正20」（正４面体は自身と双対）をそれぞれの相貫体にすれば、「正８面体と正６面体」「ベクトル平衡体と菱形12面体」「20－12面体」と「菱形30面体」及びそれらの中間立体としてのアルキメデス立体その他の多面体が生成されることを想起させられる。
また同様に５種類のプラトン立体をプラトン立体サイコロとして、その全てのサイコロの目の合計を考えると355（太陰暦の１年）となり、３種の双対を念頭に正４面体を２つにして数えると365（太陽暦の１年）になることもまた連想させられる。

４の歌Ｂ-15曲　