別記：ドリームパズル　20010630名古屋ヌース主催の「ドリームパズル」の話と内容の要約。

（２）プラトン立体を作ってみよう−２

　さてとりあえず観念先行よりも、まず製作してみましょう。実は正４面体には２つの重要な角度があります。それは２面角７０.５度と中心角１０９.５度です。直角９０度に対して、７０．５度とはどれだけずれているのかを、数値ではなく見た目と手の感覚で確認してみましょう。正４面体のどの２つの面同士が成す角度も、直角から１９．５度少ないということを、自分自身の視覚や触覚ではどのように感知したでしょう。

　さてプラトン立体の上に、３−４−５というものを見ていくことにします。正４面体の全ての点はどんな位置関係にひっくり返しても、それぞれが等価な対称性を持っています。だからどの点でもいいのですが、１つの点には線が３本の綿棒が集まっていましたね。全ての点が実際にそうなっているのか、もう１度チェックしてみてください。そして４つの面は全て正３角形になっていることも見逃してはなりません。１つの点に２本の線が集まっただけではどうやっても立体はできない。また正２角形というものは存在しない。最低でも３角形、そして最低でも１点に３本の線が集まらねば、多面体はできないのです。

　では次にそれぞれの点全てに４本の線を集めた立体というものを実際に作ってみましょう。正４面体が２つくっついたような形の立体は、実際は３本の線が集まった点が２つあるから、すべての点に同数の線が集まっているという条件を満たしていないのです（これはデルタ６面体という名前の立体です）。１点にすべて４本の線が集まるという条件を満たす立体は、正３角形８面からなる、ピラミッドが２つくっついたような形の正８面体という立体です。名前の通り面は８面ですが、では点はいくつあるでしょう？実際に数えてみれば分かるように６点ありますね。では線の数は？そうです、全部で１２本からなっていますね。

　そして次は全ての点に５本の線が集まった立体を考えてみましょう。じっくりみなさんにパズルのようにあれこれ試行錯誤しながらやってもらいたいのはやまやまですが、時間が限られているので正解を先に示してしまいましょう。それは正２０面体という立体です。名前の通り、面が２０です。では点はいくつでしょう？数えてくれますか？そう、その通り１２点です。では線の数はどうでしょう？そうですね、こうやって上と下に頂点が来るようにして、輪のように上から数えていったら、分かりやすいかも知れませんね。何本でしたか？はい、そうです３０本です。面２０、点１２、線３０。ここまではいいですか？

　じゃあさらに１つの点に６本の線を集めて立体を作ってみてください。どうです、できますか？いやいやいやいや、できないでしょう？１点に６本を繋げるとどこまでも平面になってしまって、折れこんでできる立体にならないですよね。つまり、プラトン立体の１つの点には３−４−５本しか集まらないということなんですね。

　ちょっと待て、他にも正６面体と正１２面体が残っているではないですか？でもよく見てください。正６面体も正１２面体も、やっぱり１点に３本しか集まってないですよね。じゃあいったい何がちがうのだろう？そうです、面の形ですね。正６面体の面は全て正４角形(正方形)だし、正１２面体の方は全て正５角形になっています。気がつきましたか、こっちもまた３−４−５なんですね。

　じゃあ正６角形はどうでしょう？正６角形の面をつなげて立体を作ろうとしても、やっぱりどこまでも平面が伸びていってしまって、凸多面体にはなりません。やはり６は使えないということなんですね。ここでは正６面体と正８面体のペア、そして正１２面体と正２０面体のペアがあるということだけを、覚えておいてください。

　「面点変換」と言って、それぞれの点を面に、面を点にすると、立体が入れ替わる関係なんですけど、今回は深く突っ込みません。ただ、正４面体はじゃあずーっと独身かというと、正４面体を面点変換すると、逆向きの正４面体になります。だから正４面体は自分自身とペアであるという表現ができるのですね。

　今日は特に関連付けませんが、正２０面体はやがてドリームスペルの２０の紋章や、マヤの２０進法（アナログとデジタル、２進法と１０進法を共に内包する）関連付けて考えることができます。また正１２面体の方は、正５角形が入っていますから、黄金分割比φ、５重対称性というものに関係してくるのですが、とりあえず正多面体が主テーマではないので、３−４−５の確認だけをしておきましょう。

とらしえじゃぱん点線記１−３１（20010630.lec-３）／１−３２に続く