この機会に新入園児の諸君及びその保護者諸氏が、通常の学校ではきちんと教えてくれなかった、この空間における対称性の美しさを堪能し、それらと戯れることができるならば、当方の労苦にもなんらかの意味が付与されるだろう。　　　　　　　　　　　（銀河幼稚園園長：黄色い惑星の太陽）

　紀元前１０００年頃には、エトルリアで正１２面体をサイコロにしていたという証拠が残っている。また紀元前４世紀にはギリシアのプラトンがこの５つの立体を手にして、自らの論を展開した。２世紀後にはユークリッドが自らの幾何学の著書の中で、この立体に彼の偉大な業績を称えて「プラトン立体」と名を冠している。

　実際のところ、プラトン立体は５つしかありえないのだろうか。多角形を作るには最低３本の線が必要である。正３角形、正４角形、正５角形。では６本の線からなる正６角形ではどうだろう？正６角形はどこまでも平面になってしまい、正多面体とはならないのである。

　また多面体を作るには最低でも３本の線が１点に集まる必要がある。１点に３本、４本、５本。では６本の線が集まったらどうだろう？それらが作る正多角形は正３角形である。そして１点に６つの正３角形が集まると、どこまでも平面になってしまい、これまた正多面体とはならないのである。

　正３角形が１点に集まる時、その数がみな等しくなければプラトン立体にならない。では等しくなくても正３角形だけで作られる凸多面体は一体いくつあるのだろうか？

　実はこのような立体をデルタ多面体という。そして無限にありえるように思えるが、現実には上述したような理由から８つしかありえない。つまりデルタ４面体、デルタ６面体、デルタ８面体、デルタ１０面体、デルタ１２面体、デルタ１４面体、デルタ１６面体、デルタ２０面体である。

　そしてそのうちのデルタ４面体、デルタ８面体、デルタ２０面体とは、プラトン立体の正４面体、正８面体、正２０面体と同じなのである。なおデルタ１８面体というものもありそうだが、それは一部凹部となってしまうので、デルタ多面体にはならないのである。

　プラトン立体の相互にはどんな関係性があるだろう。私たちに一番馴染み深いのは立方体と呼び習わしている、サイコロの形をした正６面体だろう。この正６面体の６つの面の中心をつなぐと、正８面体が現れてくる。同じように正８面体の８つの面の中心を繋ぐと正６面体が現れる。

　この関係はミクロ・マクロの方向にどこまでも続く。つまり変換時の比率自体は存在するがこの関係性自体は現実的に固定した大きさには左右されないのである。このような操作を面点変換という。そして面点変換できる立体のペアを双対立体という。

（※）このパレット004に対する質問あり。ＲＥＳを見るには→GO RES001

　この正１２面体もまた１２面と２０の点が、正２０面体の１２の点と２０の面に変換しているが、それらをつないでいるのは３０本の線である。

　なお、この大、中、小の正４面体の間の体積比は７２９：２７：１（＝３⁶：３³：３⁰）である。ここにある２７＋１＝２８で３６４／１３や、７２９＋１＝７３０で３６５×２であることなどを自習しておくように。

　　　　　　　　プラトン立体　面数　点数　線数
　　　　　　正４面体　　　　４　　４　　６　　　→ケプラーの星型８面体
　　　　　　正６面体　　　　６　　８　１２
　　　　　　正８面体　　　　８　　６　１２　　　→正８−６相貫体
　　　　　　正１２面体　　１２　２０　３０
　　　　　　正２０面体　　２０　１２　３０　　　→正２０−１２相貫体

　これら３種類の相貫体のそれぞれの頂点を結ぶと、各辺が直交するところには、菱形の新しい面ができる。これらの面数は、２つの双対立体に共通の線の数に等しい。

ケプラーの星型８面体からは対角線比が１：１の正方形が６面の正６面体ができる。正８−６相貫体からは対角線比が１：√２の菱形が１２面の菱形１２面体ができる。そして正２０−１２相貫体からは、対角線比が１：黄金分割比φ(ファイ)の菱形３０面体ができるのである。これらのことからも、正方形は菱形の特別な形であることがわかる。