回転対称軸というものを見ていこう。正８面体のそれぞれ反対にある６つの頂点の対を結ぶと、９０度直交の３本の線ができる。この線を軸にして正８面体を回転させると、それぞれ１回転する間に４回、すなわち９０度ごとに元の形に戻ることがわかる。 正８面体と双対立体である正６面体の６つの面の中央の３つの対をそれぞれ結んでも、同様に直交する３軸ができることが分かるだろう。これを４重回転対称軸という。 |
| 009−正８面体と正６面体の４重回転対称軸 |
回転対称軸というものを見ていこう。正８面体のそれぞれ反対にある６つの頂点の対を結ぶと、９０度直交の３本の線ができる。この線を軸にして正８面体を回転させると、それぞれ１回転する間に４回、すなわち９０度ごとに元の形に戻ることがわかる。 正８面体と双対立体である正６面体の６つの面の中央の３つの対をそれぞれ結んでも、同様に直交する３軸ができることが分かるだろう。これを４重回転対称軸という。 |
| 010−正８面体と正６面体の３重回転対称軸 |
では正８面体の８つの面の中央の４対をそれぞれ結んだらどうなるだろう。この軸を中心にして正８面体を回転させてみると、今度は１２０度ごとに元の形に戻ることが分かるだろう。このことは正６面体の８つの頂点についても、同じことが言える。 この４本の軸を３重回転対称軸という。この軸同士の作る角度はほぼ７０．５度となる。この角度は正６面体の中心角と等しい。また正４面体の２面角（２つの面が作る角度）とも等しい。ついでに言えば、正８面体の中心角は９０度、正６面体の２面角も９０度である。
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| 011−正８面体と正６面体の２重回転対称軸 |
回転対称軸を面と点の対の上に見てきたが、もうひとつの要素である線の中央を結んでも、回転対称軸はできる。こちらの方は１８０度ごとに元の形に戻るので、２重回転対称軸という。これらは全部で６本である。 以上のことから、正８面体には＜点−点＞を結んだ回転対称軸が３本、＜面央−面央＞を結んだ回転対称軸が４本、そして＜線央−線央＞を結んだ回転対称軸が６本と、全部で１３本の回転対称軸があることになる。同様に正６面体にもそれぞれ４本・３本・６本で、１３本の回転対称軸がある。
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| 012−正２０面体と正１２面体の回転対称軸 |
では正２０面体と正１２面体のカップルの回転対称性はどうなっているのだろう。全ての軸を描くと煩雑に過ぎるので、下図にはそれぞれ＜点−点＞、＜面央−面央＞、＜線央−線央＞を１本ずつ示しておいた。 正２０面体には＜点−点＞を結んだ５重回転対称軸が６本、＜面央−面央＞を結んだ３重回転対称軸が１０本、そして＜線央−線央＞を結んだ２重回転対称軸が１５本と、全部で３１本の回転対称軸があることになる。
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| 013−正１２面体の回転対称軸 |
前述の４つのプラトン立体の回転対称軸は、みな＜点−点＞、＜面央−面央＞、＜線央−線央＞の対だったが、正４面体の回転対称軸には同様に＜線央−線央＞を結ぶ３本の２重回転対称軸の他に、＜点−面央＞を結ぶ４本の３重回転対称軸がある。したがって正４面体には全部で７本の回転対称軸があることになる。 プラトン立体 ２重 ３重 ４重 ５重 合計 現行のマヤの１３バクトゥンの開始ＢＣ３１１３年及び終焉ＡＤ２０１２年との数的対応を自習しておくこと。
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