プラトン立体の対称性を語るには、回転対称性だけではなく面を境界にした鏡像対称性についても見ていかねばならない。正６面体の面に平行にした切り口で２等分した形は以下のとおりである。この３つの対称性を１つにすると、下図右のような、直交３軸の回転対称軸を交差線とした、直交する３つの面となる。 |
| 014−正６面体の３つの鏡像対称性 |
プラトン立体の対称性を語るには、回転対称性だけではなく面を境界にした鏡像対称性についても見ていかねばならない。正６面体の面に平行にした切り口で２等分した形は以下のとおりである。この３つの対称性を１つにすると、下図右のような、直交３軸の回転対称軸を交差線とした、直交する３つの面となる。 |
| 015−正８面体の３つの鏡像対称性 |
正６面体と双対立体である正８面体の鏡像対称性の界面が、やはり直交する３つの面となっていることは驚くには値しないだろう。正８面体の鏡像対称面の切り口を見ると、直交する３つの正方形であることが見て取れるだろう。
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| 016−正８面体と正６面体の残る鏡像対称面 |
正６面体を２つに分割する鏡像対称面は、まだほかにも次のような６面が残っている。同様に正８面体を２つに分割する鏡像対称面も、まだ次のような６面が残っている。つまり正６面体と正８面体は、共に９面の鏡像対称面を持っているということが分かるだろう。 これらの面のうちの３面（前述）は、４重回転対称性の軸に直交しており、残る６面（このページのもの）は２重回転対称性の軸に直交している。全ての回転対称軸と鏡像対称面は全て、１つの点を通っている。つまりこれらの立体の重心である。
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| 017−正２０面体と正１２面体の鏡像対称面 |
正２０面体と正１２面体も鏡像対称面を持っている。それぞれの対称面は立体の対の位置にある平行した２辺を通り、またそれらと直交する位置にある１対の辺を横切っている。それらはみな２重回転対称軸に垂直であり、総数は１５面である。 下の図は外接球を共有した正２０面体と正１２面体の鏡像対称面の外周を、外接球の大円として表わしたものである。これを見れば、正２０面体の各頂点で５つの面が交差し、また正１２面体の各頂点で３面が交差しているのが分かるだろう。
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| 018−正４面体の鏡像対称面 |
４本の３重回転対称軸と３本の２重回転対称軸を持っていた正４面体は、それぞれが６本あるうちの１本の辺を含む６面の鏡像対称面がある。正４面体を外接球を共有する正６面体に重ねてみれば、正４面体の６本の辺を含む６つの鏡像対称面の関係が、正６面体の６面とどのような関係になっているかが見て取れるだろうか。（016を参照のこと）
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