| 019−面点変換と外接球と内接球 |
 「双対性」と「対称性」は強力かつ重要な知的認識における概念であり､しばしば到達不可能に思えるような結論へ至る道筋を切り開く。プラトン立体はみな、外接球と内接球を持っている。双対の関係にある２つのプラトン立体の間には、交互に面点変換するだけでなく、外接球と内接球を内と外で共有しつつ、ミクロ−マクロ方向に連続している。例えば正８面体の外接球は正６面体の内接球であり、また正８面体の内接球は正６面体の外接球になっている。この関係は、＜正２０面体−正１２面体＞の関係、及び＜正４面体−正４面体＞の関係でも同様である。 |
| 020−外接球、内接球、中接球 |
またプラトン立体は、全ての線央と接する中接球というものを持っている。中接球はまた、双対立体の相貫体の凸部を全て取り去った立体の外接球でもある。下に正４面体の３接球を示す。それぞれ全ての頂点、全ての線央、全ての面央で接していることに注意。 正４面体−正４面体の相貫体は正８面体である。
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| 021−回転対象性と鏡面対称性 |
下図を見てみよう。左図は３本の線対称軸を持ち、かつ３重の回転対称性の中心点を持つ。しかし他の２図は線対称の軸はないが、３重の回転対称性の中心点を持つ。この平面対称性を立体に立ち上げたものが、鏡面対称性と回転対称性だと考えていいだろう。 下図の右と中央の図はそれぞれが対称的だが、そのままでは重なり合わない。これらを右手系と左手系と呼ぶ。次のパレットからはこの関係をプラトン立体の上に見てみよう。
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| 022−正４面体の鏡面対称性回転 |
正４面体の６つの線央を結ぶと正８面体ができる。正４面体の中接球は内接する正８面体の外接球である。下図の正８面体を見れば分かるが、正４面体には３本の２重回転対称軸があるが、この１８０度の回転を９０度で止めた形が右から２番目の図である。また一番右の図は、その対称面の切断面が正方形であることを示している。
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| 023−正８面体と正６面体の鏡面対称性回転 |
正８面体の１２の線央を結ぶとベクトル平衡体ができる。正８面体の中接球はベクトル平衡体の外接球である。下図のベクトル平衡体を見れば分かるが、正８面体には４本の３重回転対称軸がある。この１２０度の回転を６０度で止めた形が右から２番目の図である。また一番右の図は、その対称面の切断面が正６角形であることを示している。
正６面体の１２の線央を結ぶとベクトル平衡体ができる。正６面体の中接球はベクトル平衡体の外接球である。下図のベクトル平衡体を見れば分かるが、正６面体には４本の３重回転対称軸がある。この１２０度の回転を６０度で止めた形が右から２番目の図である。また一番右の図は、その対称面の切断面が正６角形であることを示している。
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| 024−正12面体と正20面体の鏡面対称性回転 |
正１２面体の３０の線央を結ぶと２０−１２面体ができる。正１２面体の中接球は２０−１２面体の外接球である。正２０面体の３０の線央を結ぶと２０−１２面体ができる。正２０面体の中接球は２０−１２面体の外接球である。 下図に示したように、正１２面体と正２０面体には６本の５重回転対称軸がある。この７２度の回転を３６度で止めた形がそれぞれの中央の図である。また一番右の図は、その対称面の切断面が正１０角形であることを示している。
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