019−面点変換と外接球と内接球
 
 「双対性」と「対称性」は強力かつ重要な知的認識における概念であり、しばしば到達不可能に思えるような結論へ至る道筋を切り開く。

 プラトン立体はみな、外接球と内接球を持っている。双対の関係にある2つのプラトン立体の間には、交互に面点変換するだけでなく、外接球と内接球を内と外で共有しつつ、ミクロ−マクロ方向に連続している。例えば正8面体の外接球は正6面体の内接球であり、また正8面体の内接球は正6面体の外接球になっている。この関係は、<正20面体−正12面体>の関係、及び<正4面体−正4面体>の関係でも同様である。

 
 020−外接球、内接球、中接球
 
 またプラトン立体は、全ての線央と接する中接球というものを持っている。中接球はまた、双対立体の相貫体の凸部を全て取り去った立体の外接球でもある。下に正4面体の3接球を示す。それぞれ全ての頂点、全ての線央、全ての面央で接していることに注意。

     正4面体−正4面体の相貫体は正8面体である。
     正6面体−正8面体の相貫体はベクトル平衡体である。
     正12面体−正20面体の相貫体は20−12面体である。



 
 021−回転対象性と鏡面対称性
 
 下図を見てみよう。左図は3本の線対称軸を持ち、かつ3重の回転対称性の中心点を持つ。しかし他の2図は線対称の軸はないが、3重の回転対称性の中心点を持つ。この平面対称性を立体に立ち上げたものが、鏡面対称性と回転対称性だと考えていいだろう。

 下図の右と中央の図はそれぞれが対称的だが、そのままでは重なり合わない。これらを右手系と左手系と呼ぶ。次のパレットからはこの関係をプラトン立体の上に見てみよう。



 
 022−正4面体の鏡面対称性回転
 
 正4面体の6つの線央を結ぶと正8面体ができる。正4面体の中接球は内接する正8面体の外接球である。下図の正8面体を見れば分かるが、正4面体には3本の2重回転対称軸があるが、この180度の回転を90度で止めた形が右から2番目の図である。また一番右の図は、その対称面の切断面が正方形であることを示している。



 
 023−正8面体と正6面体の鏡面対称性回転
 
 正8面体の12の線央を結ぶとベクトル平衡体ができる。正8面体の中接球はベクトル平衡体の外接球である。下図のベクトル平衡体を見れば分かるが、正8面体には4本の3重回転対称軸がある。この120度の回転を60度で止めた形が右から2番目の図である。また一番右の図は、その対称面の切断面が正6角形であることを示している。

 正6面体の12の線央を結ぶとベクトル平衡体ができる。正6面体の中接球はベクトル平衡体の外接球である。下図のベクトル平衡体を見れば分かるが、正6面体には4本の3重回転対称軸がある。この120度の回転を60度で止めた形が右から2番目の図である。また一番右の図は、その対称面の切断面が正6角形であることを示している。



 
 024−正12面体と正20面体の鏡面対称性回転
 
  正12面体の30の線央を結ぶと20−12面体ができる。正12面体の中接球は20−12面体の外接球である。正20面体の30の線央を結ぶと20−12面体ができる。正20面体の中接球は20−12面体の外接球である。

 下図に示したように、正12面体と正20面体には6本の5重回転対称軸がある。この72度の回転を36度で止めた形がそれぞれの中央の図である。また一番右の図は、その対称面の切断面が正10角形であることを示している。