025−プラトン立体同士の包含関係
　
　プラトン立体は正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体の５種類しかないが、それぞれの立体が他のそれぞれの立体を内包することができる。１つの立体が他の４種類を内包すると順列組み合わせで考えれば、少なくとも４×５＝２０のパターンを想定できると考えるだろう。実際は正４面体の自己双対性があるから、右の１つを入れれば最低でも２１パターン。

　しかし実際に目に見える形としてはどうなっているのだろう。面点変換できる双対関係のペアはイメージできるが、それ以外の関係はどんな形になっているのだろう？その他にも３接球の共有の仕方によって、ほかにもパターンがあり、そこでは黄金分割比の存在が重要になってくる。しかし今回はまずは見ることに徹しよう。

 　　 　
　026−正４面体の中の４つのプラトン立体
　
　正４面体と正６面体・正８面体の関係はさほど難しくない。正６面体の接点は[025]の正４面体と同じ面央で、８つある頂点の４つと接している。正８面体とはその６頂点と６つの線央とで接している。前者は内接球−外接球共有であり、後者は中接球−外接球共有である。

　正１２面体とは、その２０個ある頂点の内の４つと面央で接している。これは内接球−外接球共有である。正２０面体は正１２面体の面点変換として見ることができるだろう。それぞれ２０ある面の４面で接しているが、黄金分割比の関与で傾いていることに注意。両者共に他にも残る１６の要素を４つずつ使えるので、全部で５種類ずつのバリエーションがある。



 　　 　
　027−正６面体の中の４つのプラトン立体
　
　正６面体と外接球を共有する正４面体は、正６面体の８頂点の内の４つを共有し、６面の対角線と６本の線が重なっている。正８面体とはシンプルな面点変換である。

　正１２面体は２０個ある点の１２点もしくは３０本ある線の内の６本とで、正６面体の６面と接している。また正２０面体は１２個ある点全てもしくは３０本ある線の内の６本とで、正６面体の６面と接している。それぞれ対の位置にある線の直交関係に注意。またこの正６面体の面上にある、正１２面体と正２０面体の線も直交していることも失念しないように。



 　　 　
　028−正８面体の中の４つのプラトン立体
　
　この正４面体及び正６面体は、その外接球を正８面体の内接球と共有している。正４面体が自身の双対な正４面体と自己相貫した形の頂点と、この正６面体は同じである。それぞれ正８面体の８面と４面及び８面で接している。

　一方正１２面体と正２０面体は、面に接している頂点及び線に接している頂点が黄金分割比で傾き、ずれていることに注意。この双対立体は正８面体の各面の上でも面点変換しているが、その傾き（回転）の角度にも注目のこと。



 　　 　
　029−正１２面体の中の４つのプラトン立体
　
　ここでも正４面体と正６面体は、正１２面体の２０個の点の内の４点及び８点を共有している。正６面体にはこの他にもあと４種類の内包のされ方があり、全部で５重の空間対称性を有している。正４面体はそれぞれに対があるので、右手系と左手系という２種類の５重自己相貫立体が想定できる（これらについては後で見ることになる）。

　そしてその正６面体を面点変換すれば、正８面体の内包構造における空間の位置と対称性も予見できてくる。正６面体の１２本の線が正１２面体の１２面とどのように接しているか、また正８面体の６頂点が正１２面体の３０本の殿位置の線央で接しているかよく見てみること。なお正２０面体は単純に面点変換による外接球−内接球共有の関係である。



 　　 　
　030−正２０面体の中の４つのプラトン立体
　
　双対の関係、面点変換、内接球−中接球−外接球の関係、５重対称性などを丁寧に組み合わせて眺めれば、この平面的な図からプラトン立体同士の関係を立体的に見て取ることができるだろう。しかしまずは欲張らすにひとつひとつを眺めることから始めよう。