backy102

　中心核の正２０面体の全ての面に正８面体を２０個接することにより、第２層に２０－１２面体ができるということを、分かりやすく図で見ていくことにしよう。

　まずそれぞれ２点で他とつながり、トーラス状になっている５つの正８面体を想定する。そしてこの輪の方向に対して自在に回転する「トーラス状正８面体」を、正２０面体の５重対称性の軸にそって転がしてみよう。

　左図の真ん中に、中心に入る正２０面体を赤く示しておいた。この５重対称性の軸は６本あるが、この赤い正２０面体では上下方向に設定してある。これに上から次の順番でまとわりつくように接することにより、第２層に２０－１２面体ができるのである。

＜１＞５つの頂点が中心で接した形態（黄色）
＜２＞正５角形を中心に上の頂点が上方に開いた形態（水色１）
＜３＞正５角形を中心に下の頂点が下方に開いた形態（水色２）
＜４＞５つの頂点が中心で接した形態（緑色）

　ここで＜１＞、＜２＞、＜３＞、＜４＞のフェイズにあるトーラス状正８面体同士の位相関係を考えてみよう。それぞれ５重回転対称軸に対して７２度回転していることを考慮に入れなければ、＜１＞と＜４＞、＜２＞と＜３＞はこの赤い正２０面体の赤道面を鏡面とした鏡像関係にある。

　またこの「トーラス状正８面体」の＜１＞と＜２＞、および＜３＞と＜４＞はこの正２０面体の経線方向に接している。したがってこの＜１－２＞と＜３－４＞の２者もまた、この赤い正２０面体の赤道面を鏡面とした鏡像関係にあるのだが、回転軸方向に７２度ずれているので、赤道面においてちょうどうまくかみ合うのである。

　＜１＞と＜４＞において、このトーラス状正８面体が作る凹形の正５角錘と正２０面体の頭頂部の凸形の正５角錘がぴったり接することに注意のこと。また、全ての面に２０面体が接すると、元の２０面体の１２の頂点全ての上に凹形の正５角錘ができ、それらの間には元々の正２０面体の２０の面と同じ正３角形が、それぞれ逆向きにはまりこむ形になることにも注目のこと。

　パレット105の概念図を現実に製作し、綿棒で作った正２０面体の周りを実際に回転させたものが上の図である。下の図は同様にして綿棒で製作し、透けて見えるようにしまたもの。

　赤い正２０面体の周りに上の＜１＞＜２＞を組み合わせたものが左端であり、下の＜３＞＜４＞を組み合わせたものがその右である。右の２つの図はそれぞれ＜１＞＜２＞と＜３＞の組み合わさり方、及び＜１＞＜２＞と＜４＞の組み合わさり方を示したものである。（出来が多少不細工なのは、自ら製作したということで許していただきたい。）

　この形を２０個の正８面体の総体が第２層に２０－１２面体を形成すると見るのではなく、正２０面体の１２の頂点に、１２個の正５角錘を接してそれぞれをつなぎ合わせたものとして考えることもできる。

　この第２層である２０－１２面体には１２の正５角形の面があるが、形状維持のための補強材も兼ねて凹の正５角錘になっている。このことを強調するために、２０－１２面体部分を黒くして見えにくくしたのが下の左図である（最初に中心に入っていた正２０面体がここでは抜けていることに注意）。

　この１２ある凹の正５角錘を全て反転して凸の正５角錘にすると、下の右図のような１辺が２単位の正２０面体になる。それぞれの面に逆向きで面積１／４の黒い正３角形があるのが見えるだろうか。それだけをつなぐと２０－１２面体になっている。（この２倍体の正２０面体は第２.５層に相当するといえるだろう。）

　111－12頂点に５角錘と５角柱をつける

　　この関係を念頭に、正２０面体上の６つの頂点が形成する正５角錘の頂点に、逆向きの正５角錘をつけてみよう。そしてそれを安定させるために正５角柱のように５本の支持棒を入れてみると、下の左から２番目の図のようになる。

　ところで正２０面体はこの正５角錘だけではないので、これにかさなっているもう１つの正５角錘も考えてみると下の右の図のようになる。以下順次それぞれ１２の頂点にも同様の操作を加えていくと、最終的にその第２層は２０－１２面体になるのである。