107−正20面体に20個の正8面体を貼り付ける

 中心核の正20面体の全ての面に正8面体を20個接することにより、第2層に20−12面体ができるということを、分かりやすく図で見ていくことにしよう。

 まずそれぞれ2点で他とつながり、トーラス状になっている5つの正8面体を想定する。そしてこの輪の方向に対して自在に回転する「トーラス状正8面体」を、正20面体の5重対称性の軸にそって転がしてみよう。

 左図の真ん中に、中心に入る正20面体を赤く示しておいた。この5重対称性の軸は6本あるが、この赤い正20面体では上下方向に設定してある。これに上から次の順番でまとわりつくように接することにより、第2層に20−12面体ができるのである。

<1>5つの頂点が中心で接した形態(黄色)
<2>正5角形を中心に上の頂点が上方に開いた形態(水色1)
<3>正5角形を中心に下の頂点が下方に開いた形態(水色2)
<4>5つの頂点が中心で接した形態(緑色)


 ここで<1>、<2>、<3>、<4>のフェイズにあるトーラス状正8面体同士の位相関係を考えてみよう。それぞれ5重回転対称軸に対して72度回転していることを考慮に入れなければ、<1>と<4>、<2>と<3>はこの赤い正20面体の赤道面を鏡面とした鏡像関係にある。

 またこの「トーラス状正8面体」の<1>と<2>、および<3>と<4>はこの正20面体の経線方向に接している。したがってこの<1−2>と<3−4>の2者もまた、この赤い正20面体の赤道面を鏡面とした鏡像関係にあるのだが、回転軸方向に72度ずれているので、赤道面においてちょうどうまくかみ合うのである。

 <1>と<4>において、このトーラス状正8面体が作る凹形の正5角錘と正20面体の頭頂部の凸形の正5角錘がぴったり接することに注意のこと。また、全ての面に20面体が接すると、元の20面体の12の頂点全ての上に凹形の正5角錘ができ、それらの間には元々の正20面体の20の面と同じ正3角形が、それぞれ逆向きにはまりこむ形になることにも注目のこと。
    
 108−正20面体とトーラス状正8面体の接し方
 

  パレット105の概念図を現実に製作し、綿棒で作った正20面体の周りを実際に回転させたものが上の図である。下の図は同様にして綿棒で製作し、透けて見えるようにしまたもの。

 赤い正20面体の周りに上の<1><2>を組み合わせたものが左端であり、下の<3><4>を組み合わせたものがその右である。右の2つの図はそれぞれ<1><2>と<3>の組み合わさり方、及び<1><2>と<4>の組み合わさり方を示したものである。(出来が多少不細工なのは、自ら製作したということで許していただきたい。)

 
 109−第2層としての20-12面体
 
 前述のように正20面体の上に20個の正8面体を全て貼り付けると、第2層表面は図の綿棒の緑色の部分のように20−12面体となる。(それぞれの正5角形面には白い綿棒の凹正5角錘がはまりこんでいる。)



 
 110−20-12面体の正5角錘を反転する
 
 この形を20個の正8面体の総体が第2層に20−12面体を形成すると見るのではなく、正20面体の12の頂点に、12個の正5角錘を接してそれぞれをつなぎ合わせたものとして考えることもできる。

 この第2層である
20−12面体には12の正5角形の面があるが、形状維持のための補強材も兼ねて凹の正5角錘になっている。このことを強調するために、20−12面体部分を黒くして見えにくくしたのが下の左図である(最初に中心に入っていた正20面体がここでは抜けていることに注意)。

 この12ある凹の正5角錘を全て反転して凸の正5角錘にすると、下の右図のような1辺が2単位の正20面体になる。それぞれの面に逆向きで面積1/4の黒い正3角形があるのが見えるだろうか。それだけをつなぐと20−12面体になっている。(この2倍体の正20面体は第2.5層に相当するといえるだろう。)

 

 
 111−12頂点に5角錘と5角柱をつける
 
  この関係を念頭に、正20面体上の6つの頂点が形成する正5角錘の頂点に、逆向きの正5角錘をつけてみよう。そしてそれを安定させるために正5角柱のように5本の支持棒を入れてみると、下の左から2番目の図のようになる。

 ところで正20面体はこの正5角錘だけではないので、これにかさなっているもう1つの正5角錘も考えてみると下の右の図のようになる。以下順次それぞれ12の頂点にも同様の操作を加えていくと、最終的にその第2層は20−12面体になるのである。