100−裏銀河幼稚園園長より一言
　
　この度の裏銀河幼稚園・ひよこ組への進級おめでとう。この組において諸君は正２０面体から出発して<バッキーボール>すなわちアルキメデス立体の「切頭２０面体」へと至る過程において、様々な関係性を見ていくことになる。

　この機会にひよこ組の諸君及びその保護者諸氏が、通常の学校ではきちんと教えてくれなかった、この空間における対称性の美しさを堪能し、それらと戯れることができるならば、当幼稚園の存在にも豊かな意味が付与されるだろう。　　　　　　　　（銀河幼稚園園長：黄色い惑星の太陽）




 　　 　
　101−バッキーボールへの遥かなる道

　サッカーボールの形は、切頭２０面体と呼ばれていて、プラトン立体（※）同士の間の関係性を持ったアルキメデス立体（※）のひとつである。最近では炭素原始６０個からなる非常に堅固な分子が発見されており、それはバックミンスター・フラーに敬意を表してフラーレン、もしくはバッキーボールとも呼ばれている。

　切頭２０面体とは文字通り、正２０面体の１２個の頂点を、それぞれの線がちょうどみな同じ長さになるまで重心方向に垂直に削っていった立体である。したがってその頂点は６０個、線は９０本、そして面は正５角形が１２と正６角形が２０であわせて３２面となっている。

(※）プラトン立体は正多面体、アルキメデス立体は準正多面体ともいう。

 　
　102−綿棒で作ったバッキーボール

　左の図は綿棒をつなぎ合わせて製作したバッキーボールである。この中心には「正２０面体」（赤）が入っている。この正２０面体を核として、対称性を保持しつつこの外側にさらに綿棒による多面体を多層に配してある。

　まず正２０面体を製作するには、全部で３０本の綿棒が必要である。そしてこの外側に第２層として「２０−１２面体」（黒…この図では見にくい）を作るには、１２０本の綿棒が必要となる。この第２層の５角形部分を凹から凸へとひっくり返すようにそれぞれ５本ずつ、全部で６０本を添えれば、１辺が２倍の長さの正２０面体（黄色）となる。

この第２.５層の「２倍体正２０面体」の１２の頂点に正５角錘を逆向きに乗せ、他の各中点をつないで正４面体と正８面体を作れば、第３層にバッキーボール、「すなわち切頭２０面体」（青）ができる。

 　
　103−中心核としての正２０面体


　プラトン立体の１つである正２０面体は、点１２、線３０、面２０の立体である。回転対称軸は３１本、面の形は正３角形で、それぞれの点には５本の線と５つの面の頂点が集まっている。正２０面体は５重対称性を有する立体である。

　多面体の初心者は時に、正２０面体の中心に正４面体の１頂点を向けることで、正２０面体の中に２０個の正４面体が入るのではないかと考えるが、それは間違いである。正２０面体の１２の頂点から綿棒を中心に向けてうまく接合させようとすれば、それぞれ少しずつオーバーフロウしてしまうことがわかるだろう。


 　
　104−２０個の正４面体と正２０面体


　なお正２０面体の中心角は６３°２６′であり、正４面体の頂角（＝正３角形の１つの頂角）は６０°だから、正確には３°２６′のずれがある。この結果として、正２０面体の２０の面を底辺とし、正２０面体の重心を頂点とする２０の立体は、正４面体よりわずかに背が低い４面体となる。

したがって正２０面体の内部に正４面体を２０個内包するような形を綿棒で作るには、綿棒の綿の部分のしなやかさで調節する（もしくはごまかす）必要がある。

 　
　105−正20面体を正５角錘と正５角柱対と見る

　まず正２０面体は左の図のように、上下の正５角錘２つと正５角柱対に分割できる。

　この１対の正５角錘と正５角柱対への分割は全ての頂点対でも置き換えが可能である。つまり１２の頂点だから６本の回転対称軸に対して等価であるということだ。

　またこの正５角形を安定させるために補強する正５角錘の凹凸連結部分がまた、次の層の位置を確定し、立体を形成する骨組みにもなっていくことを、合わせて見ていこう。



 　　 　
　106−正５角柱と正５角柱対
　
　なおこの正５角柱対は、下の左図のように正５角柱の底面側を１／５回転、すなわち７２度回転させ、そこにできる菱形の短い方の対角線を実線にした形である。

　これを５角柱型に並んでそれぞれが他の３個に接している１０個の球体と、それを７２度回転させてそれぞれが他の４個の球体に接している１０個の球体で表すと、下の右図のようになる。この右の形に上下１個ずつ球体を接して、どの球体も他の５個に接する形状が正２０面体である。