<062> ３：４：５のアルキメデス立体

■３:４:５のアルキメデス立体
　３：４：５といえばピュタゴラスの３角形もしくはエジプトの３角形と言われている直角３角形の辺長比だ。この３つの数値の和12、積は60で、シュメール起源といわれている12−60進法を想起する。この12と60の比は１：５であり、この３角形の面積は６だ。

　この３−４−５は５つのプラトン立体の２つの系、すなわちが正４面体−正６面体−正１２面体が属する面の形が正３角形、正４角形、正５角形という系と、正４面体、正８面体、正２０面体が属する１点に集まる線数が３本、４本、５本という系の双方に見て取れる。

　この３−４−５は５つのプラトン立体の２つの系、つまり<正４面体−正６面体−正12面体>が属する「面の形が正３角形、正４角形、正５角形」という系と、<正４面体−正８面体−正20面体>が属する「１点に集まる線数が３本、４本、５本」という系の双方に見て取れる。

　ここで正多角形を中心として、その各辺に正方形が、そして各点には正３角形が接続するアルキメデス立体を見てみよう。まず正３角形を中心にした立体は、面が14面となるベクトル平衡体＜３,４,３,４＞だ。そして正方形を中心にした立体は、面が24面となる斜方立方８面体＜３,４,４,４＞であり、正５角形を中心にした立体は面が62面となる斜方20−12面体＜３,４,５,４＞である。
　
　　　図１：ベクトル平衡体　　　図２：斜方立方８面体　　 　図３：斜方20-12面体
　　　＜３，４，３，４＞　　　　＜３，４，４，４＞　　　　　＜３，４，５，４＞

　また正６角形を中心にするとどこまでも平面に広がって行き、立体にならないので、これ以上の正多角形では成り立たない。なお正２角形というものは存在しないが、あえて線分として考えるとこれからできるのは面が５面となる正３角柱（プリズム）になる。これはアルキメデス立体ではないが、この立体の双対立体は、正４面体を１つの面で結合したデルタ６面体となる。

■４２についての寄り道など

　ところでアルキメデス立体とは関係ないが少し横道に逸れて、３,４,５にそれぞれ10を加えた13,14,15について考えてみよう。13＋14＋15＝42だが、この42という数は６×７である。42は正20面体の点と線の総和の数であり、また正12面体の面と線の数である（共に12＋30）｡またベクトル平衡体の最密パッキング球の第２層の個数でもある（※１）｡また42は３次立体方陣の定和でもある｡

　42の９倍の378日は土星の会合周期であり、また42の２倍の84年は天王星の公転周期だ。また42：１は海王星と地球の体積比である。42カ月は３年半であり、また42日は６週間だ（※２）。日本では42歳は男の厄年のうちの大厄である。エジプトの死者の書では冥府の王は42人であり、罪も42種となっている。42はまたエジプトの地域の総数でもある｡

　なおこの３数の積は（13×14×15＝）2730で、月の公転・自転周期の100倍である。さらに３,４,５にそれぞれ100を加えた初めての３桁の数である103,104,105はどうだろう。103×104×105＝1124760だが、この数を天王星の公転周期30688.38で割ると36.651となる。もしくは365２に8.4を掛けた数となる。

103＋104＋105＝312である。312mmはシュメールの都市ウルのカルデア・フィートだが、この10倍の3120は12ツォルキン（＝260×12）である。

■さらに３，４，５の累乗数を見る

　　　３^２：４^２：５^２＝９：16：25
　　　３^３：４^３：５^３＝27：64：125
　　　３^４：４^４：５^４＝81：256：625
　　　３^５：４^５：５^５＝243：1024：3125

　なおそれぞれ様々な意味を有する数だが、243は金星の自転周期であり、625はマヤの農耕暦HAABの365日と神聖暦TZOLKIN 260日の和である。また1024は２の10乗でもあり、3125は12ツォルキン＋５日（260×12＋５）の日数である。
５）の日数である。

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（※１）一般に第ｎ層の個数は<10ｎ^２＋２>で表される｡
（※２）【ヨハネ黙示録11章２〜３節】「聖所の外の庭はそのままにしておきなさい｡それを測ってはならない｡そこは異邦人に与えられた所だから｡彼らは４２か月の間この聖なる都を踏みにじるであろう｡そして私は､私のふたりの証人に､荒布を着て､１２６０日の間預言することを許そう｡」　　（…なお1260から12−60進法を連想させられる）