<062> ３：４：５のアルキメデス立体

■３：４：５のアルキメデス立体

　３：４：５といえばピュタゴラスの３角形もしくはエジプトの３角形と言われている直角３角形の辺長比だ。この３つの数値の和１２、積は６０で、シュメール起源といわれている１２−６０進法を連想するが、それだけでなく直接関係があるものと思われる。この１２と６０の比は１：５であり、この３角形の面積は６である。

　この３−４−５は５つのプラトン立体の２つの系、すなわちが正４面体−正６面体−正１２面体が属する面の形が正３角形、正４角形、正５角形という系と、正４面体、正８面体、正２０面体が属する１点に集まる線数が３本、４本、５本という系の双方に見て取れる。

　ここで正ｎ角形を中心として、その各辺に正方形を、そして各点には正３角形を接続することによるアルキメデス立体を見てみることにしよう。まずは正３角形を中心にした立体は、面が１４面となるベクトル平衡体＜３，４，３，４＞である。そして正方形を中心にした立体は、面が２４面となる斜方立方８面体＜３，４，４，４＞であり、正５角形を中心にした立体は面が６２面となる斜方２０-１２面体＜３，４，５，４＞である。
　
　　　図１：ベクトル平衡体　　　図２：斜方立方８面体　　　図３：斜方２０-１２面体
　　　　＜３，４，３，４＞　　　　＜３，４，４，４＞　　　　　＜３，４，５，４＞

　また正６角形を中心にするとどこまでも平面に広がって行き、立体にならないので、これ以上の正多角形では成り立たない。なお正２角形というものは存在しないが、あえて線分として考えるとこれからできるのは面が５面となる正３角柱（プリズム）になる。これはアルキメデス立体ではないが、この立体の双対立体は、正４面体を１つの面で結合したデルタ６面体となる。


■４２についての寄り道など

　ところでアルキメデス立体とは関係ないが少し横道に逸れて、３，４，５にそれぞれ１０を加えた１３，１４，１５について考えてみよう。１３＋１４＋１５＝４２だが、この４２という数は６×７である。４２は正20面体の点と線の総和の数であり、また正１２面体の面と線の数である（共に１２＋３０）｡またベクトル平衡体の最密パッキング球の第２層の個数でもある（※１）｡また４２は３次立体方陣の定和でもある｡

　４２の９倍の３７８日は土星の会合周期であり、また４２の２倍の８４年は天王星の公転周期である。ま４２：１は海王星と地球の体積比だ。４２カ月は３年半であり、また４２日は６週間である（※２）。日本では４２歳⇒男の厄年のうちの大厄だが、エジプトの死者の書では冥府の王は４２人であり、罪も４２種となつている。またエジプトの地域の総数でもある｡

　なおこの３数の積は（１３×１４×１５＝）２７３０で、月の公転・時点周期の１００倍である。さらに３，４，５にそれぞれ１００を加えた初めての３桁の数である１０３，１０４，１０５はどうだろう。１０３×１０４×１０５＝１１２４７６０だが、この数を天王星の公転周期３０６８８．３８で割ると３６．６５１となる。もしくは３６５^2に８．４を掛けた数となる。

１０３＋１０４＋１０５＝３１２である。３１２mmはシュメールの都市ウルのカルデア・フィートだが、この１０倍の３１２０は１２ツォルキン（＝２６０×１２）である。


■さらに３，４，５の累乗数を見る

　　　３^２：４^２：５^２＝９：１６：２５
　　　３^３：４^３：５^３＝２７：６４：１２５
　　　３^４：４^４：５^４＝８１：２５６：６２５
　　　３^５：４^５：５^５＝２４３：１０２４：３１２５

　なおそれぞれ様々な意味を有数数であるが、２４３は金星の自転周期であり、６２５はマヤの農耕暦ＨＡＡＢの３６５日と神聖暦ＴＺＯＬＫＩＮ２６０日の和である。また１０２４は２の１０乗でもあり、３１２５は１２ツォルキン＋５日（２６０×１２＋５）の日数である。

（※１）一般に第ｎ層の個数は<10ｎ２＋２>で表される｡
（※２）【ヨハネ黙示録11章２〜３節】聖所の外の庭はそのままにしておきなさい｡それを測ってはならない｡そこは異邦人に与えられた所だから｡彼らは４２か月の間この聖なる都を踏みにじるであろう｡そして私は､私のふたりの証人に､荒布を着て､１２６０日の間預言することを許そう｡　　　（…なお１２６０から１２−６０進法を連想させられる）