<061> πを累乗するとはどういうことか

　　　ｅ^３＝20.08549639…≒20
　　　π^３＝31.00627668…≒31

　自然対数の底ｅの３乗はほぼ２０となり、円周率πの３乗はほぼ３１になる。しかし超越数やそれに準ずる数を累乗するとはどういうことだろう。これをどのように解釈すればよいかは少し横に置いておくとして、まずはこれを視覚的に考えてみることにした。

　１辺が１の正方形の面積は１であり、１辺が１の正６面体の体積は１である。ではここで１辺がπの正方形及び正６面体を想定して、その面積と体積を見てみよう。

　概念的には１辺１の正方形の辺を直径とする円（もしくは正６面体の１辺を直径とする球）を想定し、この円の周長（もしくは球の大円）を下図左上の青線のように切り開いて直線とし、その基本長を１辺とした正方形（もしくは正６面体）としてイメージしてみる事にする。

　

　この１辺πの正方形の面積を見てみるとはほぼ9.87であり、またこの正方形の対角線はほぼ4.43である。そして１辺πの正６面体の体積はほぼ31であり、またこの正６面体の立体対角線は√(３π^２)＝5.441398093…≒5.44である。この体積比から、１辺１の立方体を１日と考えれば、１辺πの立方体はほぼ１ヶ月であると同系対応視することができる。

　　　１辺πの正方形の面積＝π２＝9.869604401…≒9.87
　　　１辺πの正方形の対角線＝√(２π２)＝4.442882938…≒4.43
　　　１辺πの正６面体の体積＝π３＝31.00627668…≒31
　　　１辺πの正６面体の立体対角線＝√(３π２)＝5.441398093…≒5.44

　では次に１辺がｅの正方形の面積と正６面体の体積も見てみよう。１辺ｅの正方形の面積はほぼ7.39であり、同じくこの正方形の対角線はほぼ3.84である。そして１辺ｅの正６面体の体積はほぼ線はほぼ4.71である。

　　　１辺ｅの正方形の面積＝ｅ２＝7.389056096…≒7.39
　　　１辺ｅの正方形の対角線＝√(２ｅ２)＝3.844231028…≒3.84
　　　１辺ｅの正６面体の体積＝ｅ３＝20.08549639…≒20
　　　１辺ｅの正６面体の立体対角線＝√(３ｅ２)＝4.708202235…≒4.71

　なお１辺が１の正方形を２つ並べて辺長比１：２の長方形を想定すると、その対角線は√５となる。ここで辺長比π：２πの長方形の対角線を考えてみると、ほぼ７であることが分かる。さらに辺長比ｅ：２ｅの長方形の対角線を考えてみると、こちらはほぼ６となっている。

　　　辺長比π：２πの長方形の対角線＝√(５π^２)＝7.024814731…≒７
　　　辺長比ｅ：２ｅの長方形の対角線＝√(５ｅ^２)＝6.078262949…≒６

　また辺長比φ：２φの長方形の対角線を考えてみると、√(５φ^２)＝√13.09016993…≒3.628033987…≒3.61＝1.9^２である。こちらは整数に近似はしないが、５φ^２はほぼ13であり、５φの方はほぼ８である。またφ^５はほぼ11である。さらにπ^５の方はほぼ306である。なお306という数は17×18でもある。

　　　辺長比φ：２φの長方形の対角線＝√(５φ^２)＝3.628033987…≒3.61
　　　５φ^２＝13.09016993…≒13
　　　５φ＝8.09016994≒８
　　　φ^５＝11.08900518…≒11
　　　π^５＝306.0196848…≒306＝17×18

　　　φ＝1.618033988…
　　　π＝3.141592654…
　　　ｅ＝2.718281828…