<061> πを累乗するとはどういうことか

   e=20.08549639…≒20
   π
=31.00627668…≒31

 自然対数の底eの3乗はほぼ20となり、円周率πの3乗はほぼ31になる。しかし超越数やそれに準ずる数を累乗するとはどういうことだろう。これをどのように解釈すればよいかは少し横に置いておくとして、まずはこれを視覚的に考えてみることにした。

 1辺が1の正方形の面積は1であり、1辺が1の正6面体の体積は1である。ではここで1辺がπの正方形及び正6面体を想定して、その面積と体積を見てみよう。

 概念的には1辺1の正方形の辺を直径とする円(もしくは正6面体の1辺を直径とする球)を想定し、この円の周長(もしくは球の大円)を下図左上の青線のように切り開いて直線とし、その基本長を1辺とした正方形(もしくは正6面体)としてイメージしてみる事にする。

 

 この1辺πの正方形の面積を見てみるとはほぼ
9.87であり、またこの正方形の対角線はほぼ4.43である。そして1辺πの正6面体の体積はほぼ31であり、またこの正6面体の立体対角線は√(3π)=5.441398093…≒5.44である。この体積比から、1辺1の立方体を1日と考えれば、1辺πの立方体はほぼ1ヶ月であると同系対応視することができる。

   1辺πの正方形の面積=π=9.869604401…≒9.87
   1辺πの正方形の対角線=√(2π
)=4.442882938…≒4.43
   1辺πの正6面体の体積=π
=31.00627668…≒31
   1辺πの正6面体の立体対角線=√(3π
)=5.441398093…≒5.44

 では次に1辺がeの正方形の面積と正6面体の体積も見てみよう。1辺eの正方形の面積はほぼ7.39であり、同じくこの正方形の対角線はほぼ3.84である。そして1辺eの正6面体の体積はほぼ20であり、またこの正6面体の立体対角線はほぼ4.71である。

   1辺eの正方形の面積=e=7.389056096……≒7.39
   1辺eの正方形の対角線=√(2e
)=3.844231028…≒3.84
   1辺eの正6面体の体積=e
=20.08549639…≒20
   1辺eの正6面体の立体対角線=√(3e
)=4.708202235…≒4.71

 なお1辺が1の正方形を2つ並べて辺長比1:2の長方形を想定すると、その対角線は√5となる。ここで辺長比π:2πの長方形の対角線を考えてみると、ほぼであることが分かる。さらに辺長比e:2eの長方形の対角線を考えてみると、こちらはほぼとなっている。

   辺長比π:2πの長方形の対角線=√(5π)=7.024814731…≒7
   辺長比e:2eの長方形の対角線=√(5e
)=6.078262949…≒6

 また辺長比φ:2φの長方形の対角線を考えてみると、√(5φ
)=√13.09016993…≒3.628033987…≒3.61=1.9である。こちらは整数に近似はしないが、5φはほぼ13であり、5φの方はほぼである。またφはほぼ11である。さらにπの方はほぼ306である。なお306という数は17×18でもある。

   辺長比φ:2φの長方形の対角線=√(5φ)=3.628033987…≒3.61
   5φ
=13.09016993…≒13
   5φ=8.09016994≒8
   φ
=11.08900518…≒11
   π
=306.0196848…≒306=17×18



   φ=1.618033988…
   π=3.141592654…
   e=2.718281828…