<060> ベクトル平衡体から正２０面体への変形

■ベクトル平衡体と正２０面体

　ベクトル平衡体は正６−８面体の系の立体構造である。この系はいわば地球表面における局所的平面における幾何学構造としての認識である。つまり重力方向に地上に存在するものとして共通の垂直軸が１つあり、これを基本軸としてさらに生物学的な前後方向及び社会的な左右方向を直交させた３軸直交の幾何学的認識の世界である。

　これに対して正２０面体は正１２−２０面体の系の立体構造である。この系はいわば地球そのものにおける幾何学構造としての認識である。つまり重力力線がこの重心としての中心に向かっている。球体には回転対称軸は多数存在するが、この５重対称性を内包する系には表面の内側と外側（もしくはマクロ方向とミクロ方向）という対称性も有している。

　この２者の変換、もしくは変形過程を見るには双方からの視座がある。しかし下位の視座から上位変換を見ていく方がより分かりやすいことだろうと思われるので、ベクトル平衡体から正２０面体への変容を、３軸直交の視座から見ていくことにしよう。これはまたメタファーを超えて正方形と円の円積問題の立体版（立方体と球の問題）として考えることもできるだろう。

■正６面体の中でベクトル平衡体を正２０面体に変形する

　では正６面体と中接球を共有しているベクトル平衡体を正２０面体に変形させる過程を見ていくことにしよう。



（１）まずベクトル平衡体の６つの正方形を２つに分割する対角線を、上左図のようにそれぞれ３軸直交の方向（分かりやすいように赤・青・緑で示しておいた）になるように引く。

（２）それぞれ４本の線が集まっているベクトル平衡体の１２の点は、これによりそれぞれ１点に５本の線が集まることになる。

（３）次にこの３軸直交方向を向く６本の線を、正６面体の面上で１：１／φの長さに縮小する。

（４）結果としてこの６本の両端にある１２頂点は、最初の正６面体の線央から面央側に移動する。

（５）この縮小する対角線によってベクトル平衡体の６面ある正方形は、それぞれ１本の対角線によって２分割し、１２面の正３角形となる。

（６）なおベクトル平衡体の８面の正３角形は最初の正６面体の４本の立体対角線に直交しているが、この軸を中心としてわずかに縮小しながら回転する。

（７）変形前のベクトル平衡体と変形後の正２０面体を重ねて示した右図では、８面のうちの１面だけを黄色で示してある。

（８）この正３角形と重心で作られる３角錐は、ベクトル平衡体の方が正４面体であるのに対し、正１２面の方は正４面体ではない。

　ベクトル平衡体と正２０面体はこの３次元で共に同じ多面体として認識しているが、その共に異なる次元にあるものの射影として捉えることができる。この変形過程においてφの出現するところがその次元がすりかわる特異点なのだろうか。

　なお正６面体に収まるほかの４つのプラトン立体をいかに示した。右端の正２０面体は今見てきたが、その左にある正２０面体もやはり正６面体の６面と立体の６本の稜線で接している。この面点変換できる正２０面体と正１２面体の６本の稜線は、正６面体の面央で直交していることにも注意が必要である。

　　　



■１辺が１の時のプラトン立体の体積
　・正４面体…０．１１７８５　　・正６面体…１．０００００　　・正８面体…０．４７１４０
　・正12面体…７．６６３１２　　・正20面体…２．１８１７０