<059> 菱形１２面体の製作

■デルタ６面体

（１−１）正４面体は自己双対立体である。これを等大で３次元空間に表現する方法は２種類ある。
（１−２）正４面体を２つ自己相貫させると、ケプラーの星型８面体になる。
（１−３）これは重畳部分が正８面体となり、共有外接球の８頂点をつなぐと正６面体となる。

　　　

（１−４）正４面体２つの１面を共有させることで連結すると、デルタ６面体となる。
（１−５）このデルタ６面体の双対立体は正３角柱（もしくはプリズム）となる。
（１−６）デルタ６面体を透過させてみると、ピラミッドと同じように５角形・５芒星が見える。

　　　

■ 菱形１２面体の製作

　九州のハンダコーセン氏の事務所で見かけた綿棒多面体の「菱形１２面体…山本裕一氏モデル」を元に、「菱形１２面体トーラスモデル」を製作してみよう。バリエーションはいくつかあることが分かっている。

（２−１）綿棒６本で正４面体を作る。⇒図１
（２−２）もう１つ正４面体を作り、６本の線を直交させて星型８面体を製作する。⇒図２
（２−３）この８頂点をつなぐと菱形１２面体のコアとなる正６面体となる。
（２−４）正４面体の各面から正３角錘を立ち上げる。（デルタ６面体を参考のこと）⇒図３
図３では分かりやすいように正４面体の１面だけに正３角錘を立ち上げ、デルタ６面体としてある。
図４では同様に見易さを考慮して１つの正４面体の４面に正３角錘をつけた形。(図では黒色綿棒)
残り７面も同様にすると、結果として一回り大きい正６面体の８頂点ができる。⇒図５＆図６

　　

（２−５）最初の小さい正６面体の６つの面からそれぞれ正４角錐を立ち上げる。⇒図７
（２−６）結果としてこの６頂点と先の８頂点が菱形１２面体の１４頂点となる。
（２−７）この１４頂点を綿棒で結ぶと菱形１２面体となる。⇒図８
図６，７，８はコアとなる正６面体を外にも同じ向きで示しておいた。図６と図７を合体させ、さらにその１４頂点を綿棒２４本で結んだものが図８である。どうしても２次元画像では立体感が出せないので画像だけでは全体把握は難しいが、イメージだけでも掴めるだろうか。

　

　使用綿棒の本数は全部で６＋６＋２４＋２４＋２４＝８４本である。なお、正４角錐の２４本を省いていきなり大きな正６面体から４角錐を６つ立ち上げるという方法もある。こちらの方は全部で６０本と霧がいい数になっているが、形がいまひとつ安定しない。



■最初の正６面体の１辺と菱形１２面体の１辺の長さの比

（１） 正６面体の１辺と対角線の長さの比は１：√２＝（√２）／２：１
（２） 最初の正６面体の対角線と菱形１２面体の１辺の長さは等しい。
（３） よって最初の正６面体の１辺と菱形１２面体の１辺の長さの比は（√２）／２：１≒０．７０７：１

■最初の正６面体の１辺と菱形１２面体の短いほうの対角線の長さの比

（１） 菱形１２面体の対角線の長さの比は１：√２である。
（２） 菱形１２面体の１辺と２つの対角線との長さの比は√３：√２：１
（３） 最初の正６面体の１辺と菱形１２面体の短い対角線の長さの比は１：（√６）／６≒１：０．４０８