<057> 菱形12面体の３軸方向への切り出し

　正６面体（Ａ）の12本の線心をつなぐとベクトル平衡体となる(右図上)。この小さな６つの正方形を切断口として、この正６面体をそれぞれ直角３軸方向に平行移動させると、どのような形状と体積比になるだろう。

　まず画面右側から左に向けて平行移動して切り出してみよう。すると切り出された立体は正方形を底辺とした四角柱、もしくは直方体（Ｂ）となる。

　次に画面上側から下に向けて同様に切り出してみよう。すると今度は底辺と斜辺の長さが２：√２のピラミッド型４角錐を底面であわせた形状の８面体（Ｃ）となる。

　最後に画面前方から後方に向けて切り出してみよう。すると最終的に菱形12面体（Ｄ）が切り出されることになる。

　このとき最初の正６面体（Ａ）を体積12とすれば、これらの体積比は（Ａ）：（Ｂ）：（Ｃ）：（Ｄ）＝12：６：４：３となる。

　また最初の正６面体（Ａ）を体積１とすれば、体積比は（Ａ）：（Ｂ）：（Ｃ）：（Ｄ）＝１／１：１／２：１／３：１／４となる。（これはテトラクティスの逆数とみることもできるだろう）

　ところでこの菱形12面体とベクトル平衡体は双対立体だった。この菱形12面体を内側に面点変換すると、体積比は12：５となる。また外側に面点変換すると、体積比は３：10となる。

　　菱形12面体を内側に面点変換すると、体積比は12：５。
　　菱形12面体を外側に面点変換すると、体積比は３：10 。

　つまりベクトル平衡体→菱形12面体→ベクトル平衡体→菱形12面体…と面点変換すると、体積比は５：12：40：96…となるということだ。

　この体積比を音階の振動数比で表現するとすれば、
・菱形12面体を内側に面点変換すると、Ｇと１オクターブ下のＥ(10度下音)の関係になる。(下表青色で表示)
・菱形12面体を外側に面点変換すると、Ｃと１オクターブ上のＡ(13度上音)の関係になる。（下表橙色で表示)