<057> 菱形１２面体の３軸方向への切り出し

■正６面体の１２本の線の線央をつなぐと、右図上のようにベクトル平衡体となる。この正６面体の線央をつないでできる小さな６つの正方形を切断口として、それぞれ直角３軸方向に平行移動することによってもとの正６面体を切り出したら、どのような形状と体積比になるだろう。

（１） まず画面右側から左に向けて平行移動して切り出してみよう。そうすると切り出された立体は正方形を底辺とした四角柱、もしくは直方体となる。

（２） 次に画面上側から下に向けて同様に切り出してみよう。すると今度は底辺と斜辺の長さが２：√２のピラミッド型４角錐を底面であわせた形状の８面体となる。

（３） 最後に画面前方から後方に向けて切り出してみよう。すると最終的に菱形１２面体が切り出されることになる。

■このとき最初の正６面体（０）を体積１２とすれば、体積比は（０）：（１）：（２）：（３）＝１２：６：４：３となる。

　また最初の正６面体（０）を体積１とすれば、体積比は（０）：（１）：（２）：（３）＝１／１：１／２：１／３：１／４となる。（これはテトラクティスの逆数とみることもできるだろう）

■ところでこの菱形１２面体とベクトル平衡体は双対立体だった。この菱形１２面体を内側に面点変換すると、体積比は１２：５となる。また外側に面点変換すると、体積比は３：１０となる。

・ 菱形１２面体を内側に面点変換すると、体積比は１２：５。
・ 菱形１２面体を外側に面点変換すると、体積比は３：１０。

　つまりベクトル平衡体→菱形１２面体→ベクトル平衡体→菱形１２面体…と面点変換すると、体積比は５：１２：４０：９６…となるということだ。

■この体積比を音階の振動数比で表現するとすれば、
・菱形１２面体を内側に面点変換すると、Ｇと１オクターブ下のＥ（もしくは１０度下音）との関係になる。（下表緑色で表示）
・菱形１２面体を外側に面点変換すると、Ｃと１オクターブ上のＡ（もしくは１３度上音）との関係になる。（下表オレンジで表示）