para052

　 <052> ぐるぐる数１４２８５７

　６桁の数<１４２８５７>について考えてみよう。
<1>まずこの数に１～６のどの数を掛けても各桁の循環的な入れ換えになる。
<2>またこの循環数の任意のどの数も３桁前(もしくは後ろ…同じ数)の数との和が９になる。
<3>またこの数字を右端から２桁ずつに切り取って足し合わせると99になる。
<4>またこの数字を右端から３桁ずつに切り取って足し合わせると999になる。

<1>142857×１＝142857　<2>１＋８＝９　<3>14＋28＋57＝99　<4>142＋857＝999
　 142857×２＝285714 　　４＋５＝９　　28＋57＋14＝99 　　285＋714＝999
　 142857×３＝428571 　　２＋７＝９　　42＋85＋71＝99 　　428＋571＝999
　 142857×４＝571485 　　８＋１＝９　　57＋14＋76＝99 　　571＋476＝999
　 142857×５＝714285 　　５＋４＝９　　71＋42＋85＝99 　　714＋285＝999
　 142857×６＝857142 　　７＋２＝９　　85＋71＋42＝99 　　857＋142＝999

<5>さらにこの数を２乗すると20408122449になるが、これを右から６桁の次で２つに分けて足すと142857になる｡などなどこの数には様々な面白い特徴があるが、この不思議な数１４２８５７を俗に「ぐるぐる数」と呼んでいる。<6>実はこの数１４２８５７は７の逆数の循環節なのである。

　　　　<5>1428572＝20408122449　　 20408＋122449＝142857
　　　　<6>１／７＝0.142857 142857 142857 142857…

ここでこの数そのものを見てみると、１～９までの数のうち３,６,９が抜けている。これは「７」という数自体の属性のようだ。例えば１だけでなく２～９を７で割って見よう。下に示したように以下同様に整数部分が７ごとに増えていくだけで、小数点以下の循環部分は変わらない。また７ごとに小数点以下の循環部分は繰り返すが、この循環部分の縦の６数の和は全て27になる(※１）。

　　　　　　１／７＝0.142857 142857 142857…
　　　　　　２／７＝0.285714 285714 285714…
　　　　　　３／７＝0.428571 428571 428571…
　　　　　　４／７＝0.571428 571428 571428…
　　　　　　５／７＝0.714285 714285 714285…
　　　　　　６／７＝0.857142 857142 857142…
　　　　　　７／７＝１
　　　　　　８／７＝1.142857 142857 142857…
　　　　　　９／７＝1.285714 285714 285714…
　　　　　　 10／７＝1.428571 428571 428571…
　　　　　　 11／７＝1.571428 571428 571428…
　　　　　　 12／７＝1.714285 714285 714285…
　　　　　　 13／７＝1.857142 857142 857142…
　　　　　　 14／７＝２

--------------------------------------------------------------------------
　（※１）ちなみに2555／７＝365である。2600＝2555＋１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＋８＋９
　　　　　つまり260＝25.55＋0.01＋0.02＋0.03＋0.04＋0.05＋0.06＋0.07＋0.08＋0.09

　補追　

このような数は他には以下のようなものがある。それぞれ17、19、23、29…の逆数の小数点以下の循環節であるが、ここではすでに１～９までの数は全て出揃ってしまっている。
　
【16桁】　05882 35294 11764 7
【18桁】　05263 15789 47368 421
【22桁】　04347 82608 69565 21739 13
【28桁】　03448 27586 20689 65517 24137 931
【59桁】　01694 91525 42372 88135 59322 03389 83050 84745 76271 18644 06779 661
【108桁】 00917 43119 26605 50458 71559 63302 75229 35779 81651 37614 67889 90825
　　　　　68807 33944 95412 84403 66972 47706 42201 83486 23853 211

１／17＝0.0588235294117647 588235294117647 588235294117647…
１／19＝0.052631578947368421 52631578947368421 52631578947368421…
１／23＝0.0434782608695652173913 434782608695652173913…
１／29＝0.0344827586206896551724137931 344827586206896551724137931…　　（以下略）

これらのぐるぐる数は全て偶数桁だが、前後を２つに分けてそれらの数を足すと全て999…になる。

【16桁】 05882352＋94117647＝99999999
【18桁】 052631578＋947368421＝999999999
【22桁】 04347826086＋95652173913＝99999999999
【28桁】 03448275862068＋96551724137931＝99999999999999　　（以下略）

（※２）なおコンピュータを使えば例えば以下のようなものも簡単に出されているが、どこかですでに最初の驚きと不思議がただの数の羅列に認識されてしまうという敷居を跨いでしまっているようだ。

【1018桁】　

00098 13542 68891 06967 61530 91265 94700 68694 79882 23748 77330 71638 86162 90480 86359 17566 24141 31501 47203 14033 36604 51422 96368 98920 51030 42198 23356 23159 96074 58292 44357 21295 38763 49362 11972 52208 04710 50049 06771 34445 53483 80765 45632 97350 34347 39941 11874 38665 35819 43081 45240 43179 58783 12070 65750 73601 57016 68302 25711 48184 49460 25515 21099 11678 11579 98037 29146 22178 60647 69381 74681 05986 26104 02355 25024 53385 67222 76741 90382 72816 48675 17173 69970 55937 19332 67909 71540 72620 21589 79391 56035 32875 36800 78508 34151 12855 74092 24730 12757 60549 55839 05789 99018 64573 11089 30323 84690 87340 52993 13052 01177 62512 26692 83611 38370 95191 36408 24337 58586 84985 27968 59666 33954 85770 36310 10794 89695 78017 66437 68400 39254 17075 56427 87046 12365 06378 80274 77919 52894 99509 32286 55544 65161 92345 43670 26496 56526 00588 81256 13346 41805 69185 47595 68204 12168 79293 42492 63984 29833 16977 42885 18155 05397 44847 89008 83218 84200 19627 08537 78213 93523 06182 53189 40137 38959 76447 49754 66143 27772 32580 96172 71835 13248 28263 00294 40628 06673 20902 84592 73797 84102 06084 39646 71246 31992 14916 58488 71442 59077 52698 72423 94504 41609 421

【4446 桁】

00022 48706 99347 87497 18911 62581 51562 85136 04677 31054 64357 99415 33618 16955 25073 08297 72880 59365 86462 78389 92579 26692 15201 25927 59163 48099 84259 05104 56487 51967 61861 92939 06004 04767 25882 61749 49404 09264 67281 31324 48841 91589 83584 43894 76051 27051 94513 15493 59118 50685 85563 30110 18664 26804 58736 22666 96649 42657 97166 62918 82167 75354 17135 14729 03080 72858 10658 87114 90892 73667 64110 63638 40791 54486 17045 19901 05689 22869 35012 36788 84641 33123 45401 39419 83359 56824 82572 52080 05396 89678 43489 99325 38790 19563 75084 32651 22554 53114 45918 59680 68360 69260 17539 91454 91342 47807 51068 13582 19024 06116 48302 22621 99235 43962 22172 25095 57004 72228 46863 05374 40971 44142 11828 19878 56982 23521 47515 17877 22059 81560 60265 34742 52304 92466 83157 18461 88441 64605 35192 26444 79424 33100 96694 40071 95862 37913 19991 00517 20260 85001 12435 34967 39374 85945 58129 07578 14256 80233 86552 73217 89970 76680 90847 76253 65414 88644 02968 29323 13919 49628 96334 60760 06296 37958 17404 99212 95255 22824 37598 38093 09646 95300 20238 36294 13087 47470 20463 23364 06566 22442 09579 49179 22194 73802 56352 59725 65774 67955 92534 29278 16505 50933 21340 22936 81133 34832 47132 89858 33145 94108 38767 70856 75736 45154 03642 90532 94355 74544 63683 38205 53181 92039 57724 30852 25995 05284 46143 46750 61839 44232 06656 17270 06970 99167 97841 24128 62604 00269 84483 92174 49966 26939 50978 18754 21632 56127 72655 72295 92984 03418 03463 00876 99572 74567 12390 37553 40679 10951 20305 82415 11131 09961 77198 11108 61254 77850 23611 42343 15268 72048 57207 10591 40993 92849 11176 07375 75893 86102 99078 03013 26737 12615 24623 34157 85923 09422 08230 26759 61322 23971 21655 04834 72003 59793 11895 65999 55025 86013 04250 05621 76748 36968 74297 27906 45378 90712 84011 69327 63660 89498 53834 04542 38812 68270 74432 20148 41466 15695 97481 44816 73038 00314 81897 90870 24960 64762 76141 21879 91904 65482 34765 01011 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