<051> スフェリコンについて

 第1回目の次元幾何学研究会で、参加者から右図のような立体を手渡された()。名前はスフェリコンと言う。頂点は4つあり、線は曲線(半円)が2本、そして面は曲面からなる1面体だ。線が直交した位置で対になっているのは正4面体を連想させるし、面が1つであることは球体にも似ている。見る方向によってはシルエットが正方形になる円錐対にも見える。半円+半正方形になる断面が3面直交するところは、正8面体を連想もさせる。

この立体の製作方法は右図下(
)のように考えられる。先ず正方形の対角線を軸として360度回転させると、図2のような円錐対ができる。この回転軸を含む面で2当分したパーツの片方を図4のように90度回転させてから再度接合するとできる形状の立体をスフェリコンと言う。

(1)滑らかにつながる同幅の面からなる。

よって同幅のまま1本の直線が接して綺麗に転がるが、回転軸が直交しているので左右に振動つつ、全体としては直進する。

また平面的には2つのコインのへりを接したまま1回転できるように、1つのスフェリコンのまわりを、もう1つのスフェリコンが接したまま互いに全ての面を舐めあうことができる。

(2)この立体は正八面体にきれいに外接する。

また正8面体の外接球も共有する。

■展開図は下右図の通り。赤い線の部分は折れずに滑らかに接続している。また赤い線が作る扇形の中心角は90√2度で、弧度法では√2πラジアン(127.28度くらい)である。

■また同一立方体に収まる半径の等しい「円錐対」「球体」「円柱」の体積比は1:2:3:だが、円錐対を90度回転させたスフェリコンは円錐対と等しいので、これらの比率に対しては体積比1である。

これらの立体において「球体」は90度回転させても同型だが、「円柱」は滑らかなUの字型2面からなる立体となる。以上のことから、このように90度回転させることによる面数と点数の変化は以下の通り。

              面 線 点
球体1           1 0 0
円錐対           2 1 2
スフェリコン        1 2 2

円柱            3 2 0
円柱90度回転立体     2 0 0

■1辺2rの立方体に内接する場合の比率

スフェリコン:円錐:球:円柱
(体積比)=1:1:2:3 (1=2πr
3/3
(表面積比)=√2:Φ+:2:3 (1=2πr
2

)写真はHP「あそびわせんとや」より借用。http://www.lcv.ne.jp/~hhase/index.html