<051> スフェリコンについて

　第１回目の次元幾何学研究会で、参加者から右図のような立体を手渡された（※）。名前はスフェリコンと言う。頂点は４つあり、線は曲線（半円）が２本、そして面は曲面からなる１面体だ。線が直交した位置で対になっているのは正４面体を連想させるし、面が１つであることは球体にも似ている。見る方向によってはシルエットが正方形になる円錐対にも見える。半円＋半正方形になる断面が３面直交するところは、正８面体を連想もさせる。

この立体の製作方法は右図下（※）のように考えられる。先ず正方形の対角線を軸として360度回転させると、図２のような円錐対ができる。この回転軸を含む面で２当分したパーツの片方を図４のように90度回転させてから再度接合するとできる形状の立体をスフェリコンと言う。

（１）滑らかにつながる同幅の面からなる

　よって同幅のまま１本の直線が接して綺麗に転がるが、回転軸が直交しているので左右に振動つつ、全体としては直進する。また平面的には２つのコインのへりを接したまま１回転できるように、１つのスフェリコンのまわりを、もう１つのスフェリコンが接したまま互いに全ての面を舐めあうことができる。また正８面体の外接球も共有する。

（２）この立体は正８面体にきれいに外接する

　展開図は下右図の通り。赤い線の部分は折れずに滑らかに接続している。また赤い線が作る扇形の中心角は90√２度で、弧度法では√２πラジアン(127.28度くらい)である。また同一立方体に収まる半径の等しい「円錐対」「球体」「円柱」の体積比は１：２：３：だが、円錐対を９０度回転させたスフェリコンは円錐対と等しいので、これらの比率に対しては体積比１である。これらの立体において「球体」は９０度回転させても同型だが、「円柱」は滑らかなＵの字型２面からなる立体となる。以上のことから、このように９０度回転させることによる面数と点数の変化は以下の通り。

　　　　　　　　　　　　　　面　線　点
球体１　　　　　　　　　　　１　０　０
円錐対　　　　　　　　　　　２　１　２
スフェリコン　　　　　　　　１　２　２
円柱　　　　　　　　　　　　３　２　０
円柱９０度回転立体　　　　　２　０　０

■１辺２ｒの立方体に内接する場合の比率

スフェリコン：円錐：球：円柱
（体積比）＝１：１：２：３　（１＝２πr^3/3）
（表面積比）＝√２：Φ+：２：３　（１＝２πr²）

（※）写真はＨＰ「あそびわせんとや」より借用。