<050> 立体パズル(その1)

 さて、いきなりだが上に示した立体を見てほしい。これら6点の画像は、私がある立体構造が実際にどのようになっているかと紙の上に作図してみてもよく分からなかったので、実際に作ってみた1つの立体を様々な方向から撮影したものである。画像といっても所詮は2次元なので、私が図面引っ張っていろいろと想像しても分かりにくかったように、何枚あってもなかなかイメージできないのではないだろうか。もっともだからこそクイズになるのだが。

 画像上の立体は分かりやすいように3色になっているが、あるひとつの立体から切り出したものとして考えてほしい。切り出す前の元の立体はどのような形で、どのような意図に沿って切り出したのかわかるだろうか。補助線を引いてみるとそれなりに見えてくるものがあるのと思われるので、以下にその線を入れた画像を用意してみた。

 パースペクティブがかかっているので少し分かりにくいところもあるだろうが、御覧の通り最初の立体は正6面体である。そして中心にある黄色(白くも見えているが)の部分は、正6面体の面心部分をつないでできる立体、つまり面点変換するとできる体積1/6の正8面体だ。

 そしてその外側にある赤と緑の2つの部分は、1辺が正6面体の線長の√2倍の長さの正3角形を底辺に持つ3角錘であることが図より分かるだろう。またこの3角錘の底面と正8面体の1面は同一面上にあり、その面積比は4:1である。

 またこの正6面体からこの3角錘の1方を取り去った立体を8つ繋げるとベクトル平衡体になる。中接球−外接球を共有する正6面体とベクトル平衡体の体積比は6:5だから、正6面体とこの3角錘を切り取った立体との体積比も6:5である。したがってこの3角錘の体積は正6面体の1/6であることがわかる。

   

 なおこの赤と緑の3角錘の位相のズレは一見180度に見えるが、正8面体を挟んで2つの3角錘を貫く回転対称軸を考えればわずか60度であることがわかる。そしてこの60度は真ん中にある正8面体の対になっている2面のずれであり、これを60度戻せば正8面体は正3角柱になる。

 この他にもこの立体からは、まだある平行な面や線同士の関係や表面積の比率など、様々なことが見て取れるに違いないが、実際に勢作し、手に取って眺めなければわからない問題なのかも知れない。