<050> 立体パズル（その１）

　さて、いきなりだが右に示した立体を見てほしい。これら６点の画像は、私がある立体構造が実際にどのようになっているかと紙の上に作図してみてもよく分からなかったので、実際に作ってみた１つの立体を様々な方向から撮影したものだ。画像といっても所詮は２次元なので、私が図面引っ張っていろいろと想像しても分かりにくかったように、何枚あってもなかなかイメージできないのではないだろうか。もっともだからこそクイズになるのだが。

　画像上の立体は分かりやすいように３色になっているが、あるひとつの立体から切り出したものとして考えてほしい。切り出す前の元の立体はどのような形で、どのような意図に沿って切り出したのかわかるだろうか。補助線を引いてみるとそれなりに見えてくるものがあるのと思われるので、下にその線を入れた画像を用意してみた。

　パースペクティブがかかっているので少し分かりにくいところもあるが、御覧の通り最初の立体は正６面体だ。そして中心にある黄色（白くも見えているが）の部分は、正６面体の面心部分をつないでできる立体、つまり面点変換するとできる体積１／６の正８面体だ。

　そしてその外側にある赤と緑の２つの部分は、１辺が正６面体の線長の√２倍の長さの正３角形を底辺に持つ３角錘であることが図より分かるだろう。またこの３角錘の底面と正８面体の１面は同一面上にあり、その面積比は４：１である。

　またこの正６面体からこの３角錘の１方を取り去った立体を８つ繋げるとベクトル平衡体になる。中接球−外接球を共有する正６面体とベクトル平衡体の体積比は６：５だから、正６面体とこの３角錘を切り取った立体との体積比も６：５である。したがってこの３角錘の体積は正６面体の１／６であることがわかる。

　なおこの赤と緑の３角錘の位相のズレは一見180度に見えるが、正８面体を挟んで２つの３角錘を貫く回転対称軸を考えればわずか60度であることがわかる。そしてこの60度は真ん中にある正８面体の対になっている２面のずれであり、これを60度戻せば正８面体は正３角柱になる。

　この他にもこの立体からは、まだある平行な面や線同士の関係や表面積の比率など、様々なことが見て取れるに違いないが、実際に勢作し、手に取って眺めなければわからない問題なのかも知れない。