<047> 両端のないピアノ…周期を倍音として捉えた数値変換 <１>

「オクターブの法則とは、ホロニックな内部構造を持つ２進法である。」

　人間の可聴領域は通常２０Ｈｚ〜２００００Ｈｚである。この音域をクジラ・イルカ類は全て発音・発声できるが、私たちはその中の限られた帯域しか発音できない。楽器の女王といわれている現代ピアノは白鍵５２・黒鍵３６の８８鍵をもって、２７.５ＨｚのＡから４１８６ＨｚのＣまでの７オクターブと３音をカバーしている。これより上の振動数でも下の振動数でも共に、人間は音楽としては捉えられないのだ。しかし振動数や周波数はこの上にも下にもどこまでも存在する。このピアノの左右にキーボードを継ぎ足して、この構造の上にそれらの音たちを乗せてみるとどうなるだろう。

　ある音と１オクターブ上音とは単純に２倍の振動数を持つ。２オクターブ上音は最初の音高の４倍、３オクターブ上音は８倍の振動数である。同様に下位方向のオクターブは１／２，１／４，１／８…と逆数的ではあるが、やはり２倍２倍の２累進法のホロン構造を持つ。また私たちはある音高とそのオクターブ上音の音高の間を７音階１２音（平均率的）として見、また聞き分けることができる。

　この右に１３番目の鍵が最初の音のオクターブ音を出す１２の構造は、７オクターブと３音のピアノのキーボードをさらに左右に延長することによって、私たちの可聴領域帯の外の振動数や周回数も同じ構造の上で認識することができる。人間の耳に聞こえないものを音というかどうかということは言葉の問題として残るが、倍音という概念は変わらないし、振動数もしくは周期として捉えれば問題はないだろう。

　ところでピアノの調律はこのキーボードの左端から２９番目の白鍵（黒鍵も入れると左端から４９番目のキー）を４４０ＨｚのＡとする事から始められる。現在ではピアニストの音楽的感覚や好みで、そのキーを４４１〜４４３Ｈｚとして全体調律してもらうピアニストが少なくないが、一応平均律に敬意を表して４４０Ｈｚをこの内部オクターブ・ホロン構造の基点と考え、その２累進ホロン構造を見ていこう。

　まずは下位（つまり相対振動数が小さい）方向を見よう。下位倍音として２２０Ｈｚ，１１０Ｈｚ，５５Ｈｚ，２７．５Ｈｚがピアノのキーボード上に対応している。この２７.５Ｈｚはピアノの左端の鍵である。

（０） ４４０Ｈｚ
（１） ２２０Ｈｚ　　　　　（１／２）
（２） １１０Ｈｚ　　　　　（１／４）
（３） ５５Ｈｚ　　　　　　（１／８）
（４） ２７.５Ｈｚ　　 　　（１／16）

　これをさらに下位へ進めていこう。

（５） １３．７５Ｈｚ　　　（１／32）
（６） ６．８７５Ｈｚ　　　（１／64）
（７） ３．４３５Ｈｚ　　　（１／128）
（８） １．７１８７５Ｈｚ　（１／256）
（９） ０．８５９３７５Ｈｚ（１／512）

　この（５）〜（６）の周波数はほぼ人間の脳波のα波の上限〜下限に重なっている。別の表現をすれば、私たちの脳波のα波上限の５オクターブ上音が４４０ＨｚのＡであるという事になる。また（９）の逆数は１．１６３６…となり、ほぼ人間の心拍周期に等しいが、これもまた４４０ＨｚのＡの９オクターブ下位の音として認識することができる。ここまでくると１秒間に１回の振動がない周波数なので、６０倍して単位を分に置き換えてみると０．８５９３７５（毎秒）＝５１．５６２５（毎分）となる。なお基音４４０Ｈｚ<Ａ>の３度上の５２８Ｈｚ<Ｃ>の９オクターブ下位の音はほぼ１秒に近似している。

（１０）　２５．７８１２５　　　（１／1024） （※１周期＝２．３２７秒、下線部は循環小数）
（１１）　１２．８９０６２５　　（１／2048） （※１周期＝４．６５４秒）
（１２）　６．４４５３１２５　　（１／8192） （※１周期＝９．３０９秒）
（１３）　３．２２２６５６２５　（１／16384）（※１周期＝１８．６１８秒）
（１４）　１．６１１３２８１２５（１／32768）（※１周期＝３７．２３６秒）
（１５）　０．８０５６６４０６２（１／65536）（※１周期＝７４．４７２秒＝１．２４２分）

　（１１）はほぼ平静時の１呼吸のサイクルに近い。また小数点以下になるので（１５）で再度６０倍して１時間に置き換えると、０．８０５６６４０６２（毎分）＝４８．３３９８４３７５（毎時）となる。なお１２桁電卓で計算しているので、これ以降の桁数は四捨五入する事になる。

（１６） 　２４．１６９９２１８８（１／131072） （※１周期＝２．４８２分）
（１７） 　１２．０８４９６０９４（１／262144） （※１周期＝４．９６４８分）
（１８） 　６．０４２４８０４６９（１／524288） （※１周期＝９．９２９６分）
（１９） 　３．０２１２４０２３４（１／1048576）（※１周期＝１９．８５９３分）
（２０） 　１．５１０６２０１１７（１／2097152）（※１周期＝３９．７１８８分、以下は四捨五入）
（２１） 　０．７５５３１００５８（１／4194304）（※１周期＝７９．４７３７６分）

　（１７）は脳が酸欠で機能停止する時間に近い。（２１）で１周期が６０分を越えたのでさらに２４倍して、１日（＝８６４００秒）に置き換えると０．７５５３１００５８（毎時）＝１８．１２７４４１４１（毎日）となり、１周期＝１．３２４…時間である。

（２２）　７．０６３７２０７０３（１／8388608）　（※１周期＝２．６８…時間）
（２３）　４．５３１８６０３５２（１／16777216） （※１周期＝５．２９６…時間）
（２４）　２．２６５９３０１７６（１／33554432） （※１周期＝１０．５９…時間）
（２５）　１．１３２９６５０８８（１／67108864） （※１周期＝２１．１８…時間）
（２６）　０．５６６４８２５４３（１／134217728）（※１周期＝４２．３７…時間）

　このあたりのタイムスパンに近いものを見てみよう。火星の衛星フォボスの火星に対する公転周期は７．６５時間、木星の恒星回転周期（赤道部分）は９．８４１時間、土星の恒星回転周期（赤道部分）は１０．２３３時間、木星の衛星アマルテアの公転周期は１１．７４時間である。また土星の衛星ミマスの公転周期は、０．９４２日、火星の衛星デイモスの公転周期は１．２６２日、土星の衛星エンケラドスの公転周期→１．３７０日、天王星の衛星ミランダの公転周期→１．４１４日である。また木星の衛星イオの公転周期は１．７６９日だが、これはほぼ（２６）に近い。

　なおここで（２６）を３６５．２４２２倍して単位を１年に置き換えると、０．５６６４８２５４３ per日＝２０６．９０３３３０６ per年となる。ここでの１周期は１．７６５日になる。（なお１年＝３１，５５６，９２６．０８秒である）。

（２７）１０３．４５１６６５３　（※１周期＝３．５３日） 　（１／268435456）
（２８）５１．７２５８３２６５　（※１周期＝７．０６日） 　（１／536870912）
（２９）２５．８６２９１６３３　（※１周期＝１４．１２日） （１／1073741824）
（３０）１２．９３１４５８１６　（※１周期＝２８．２４日） （１／2147483648）
（３１）６．４６５７２９０８２　（※１周期＝５６．４９日） （１／4294967296）
（３２）３．２３２８６４５４１　（※１周期＝１１２．９８日)（１／8589934592）
（３３）１．６１６４３２２７　 （※１周期＝２２５．９６日）(以下累進法のホロンを省略)
（３４）０．８０８２１６１３５ （※１周期＝４５１．９１日）

　この（２８）は７．０６日でほぼ１週間に等しい。つまり１週間７日のタイムスパンは２８オクターブ上音が４４０ＨｚのＡであるということだ。また（３０）は１３の月の暦の１ヶ月２８日にほぼ等しい。つまり地球の１年３６５日のほぼ１／１３である。（３１）は水星の自転周期５８.５日に、（３２）は水星の会合周期１１６日に近いし、（３３）は金星の公転周期２２５日に近似している。

　この１日〜１年のタイムスパンを見てみよう。土星の衛星テティスの公転周期は１．８８８日、天王星の衛星アリエルの公転周期は２．５２０日である。土星の衛星ディオネの公転周期は２．７３７日だが、これは月の自転・公転周期のほぼ１／１０でもある。木星の衛星エウロパの公転周期は３.５５１日　だが、これは（２７）に近似している。

　天王星の衛星ウンブリエルの公転周期は４．１４４日、土星の衛星レアの公転周期は４.５１８日、海王星の衛星トリトンの公転周期は、５.８７７日、冥王星の自転は６.３９日、天王星の衛星オベロンの公転周期は１３.４６３日、土星の衛星タイタンの公転周期は１５.９４５日、木星の衛星カリストの公転周期は１６.６８９日である。

　海王星の衛星ネレイドの公転周期は３５９．８８日（＝０.９８５年）、土星の衛星フォェブの公転周期は ５５０．４日（＝１.５１年）、火星の公転周期は６８７日（＝１.８８年）、木星の衛星シノペの公転周期は７５８日（＝２.０８年）である。なおこれは衛星で最長の公転周期である。

　（３４）×４／５＝３６１．６日で、Ａに２の１２乗根を４回乗じた音階Ｃ＃に近似。１．０１０２７０１６９…／年で、ほぼ１年。つまり４４０ＨｚのＡの４つ上の鍵盤Ｃ＃（５５４．３７Ｈｚ）の３４下位オクターブはほぼ１年である。なお１０の７．５乗秒＝３１６０００００秒＝３６５．７日で、ほぼ１年に近似している。ここでさらにこの（３４）を２５９２０倍して、惑星歳差運動周期を単位に置き換えてみると、０．８０８２１６１３５ per年＝２０９４８．９６２２２ per惑星歳差運動周期）である。

（３５）１０４７４．４８１１１ （※１周期＝２．４７５年）
（３６）５２３７．２４０５５５ （※１周期＝４．９５年）
（３７）２６１８．６２０２７７ （※１周期＝９．８９８年）
（３８）１３０９．３１０１３９ （※１周期＝１９．８年）
（３９）６５４．６５５０６９４ （※１周期＝３９．６年）
（４０）３２７．３２７５３４７ （※１周期＝７９．１９年）
（４１）１６３．６６３７６７３ （※１周期＝１５８．３７年）
（４２）８１．８３８８３６７ 　（※１周期＝３１６．７５年）
（４３）４０．９１５９４１８３ （※１周期＝６３３．４９年）
（４４）２０．４５７９７０９２ （※１周期＝１２６６．９９年）
（４５）１０．２２８９８５４６ （※１周期＝２５３３．９８年）
（４６）５．１１４４９２７２９ （※１周期＝５０６７．９５年）
（４７）２．５５７２４６３６５ （※１周期＝１０１３５．９年）　１周期前は氷河時代の終了時。
（４８）１．２７８６２３１８２ （※１周期＝２０２７１．８年）
（４９）０．６３９３１１５９１ （※１周期＝４０５４３．６年）

　この１年〜１惑星歳差運動周期の間のタイムスパンを見てみよう。彗星エンケの公転周期は３．３年、最大の小惑星ケレスの公転周期は４．６年、木星の公転周期は１１．８６年、土星の公転周期は２９．４６年、シリウスとその伴星シリウスＢの回転周期は４９．９４年、ハレー彗星の公転周期は７６．１年、アルファ・ケンタウリの２連星の周回周期は８０．０９年である。

　また天王星の公転周期は８４年、海王星の公転周期は１６４．８年、ガンマ・ヴィルジニス系の連星の周回周期は１７１．４年、冥王星の公転周期は２４７．１年、連星系イータ・カシオペアの２連星の回転周期は４０１年である。（４７）を見ると、ちょうど１周期前の氷河期の終了時に当たる。

　（４９）になると小数点以下になるので逆数を取ることにしよう。すると１周期に何回惑星歳差運動周期があるかという数値になり、０．６３９３１１５９１ per毎惑星歳差運動周期＝１．５６４１８２４９５ per 惑星歳差運動周期となる。また（５０）３．１２８３６４９９１であり、以下ずっと続けられるが、下位方向への旅はとりあえずここでやめておこう。（※）

（※）基音４４０Ｈｚ<Ａ>の５度上の６６０Ｈｚ<Ｅ>の４９オクターブ下位の音はほぼ地球の惑星歳差運動周期２５９２０年に近似している。同じくこの６２オクターブ下位の音はほぼ銀河系の１回転２２６８０００００年に近似している。これはまた３６ニネヴェ定数周期（６３０００００×３６）＝２８８シリウス周期（７８７５００×２８８）＝８７５０惑星歳差運動周期（２５９２０×８７５０）でもある。