<033>１９について（３）唯一の６角魔方陣の１９ユニット

　１辺３点の６角格子の交点の数が１９であることは前述したが、この交点を円（もしくはヘックス）にしてその上に１〜１９の数を乗せ、このどの方向にそれらの数を足しても同じ数（定和）になるものを「６角魔方陣」という。クリフォード･Ｗ.アダムスは４７年かけて1957年に解を見つけた。しかしその解を書いた紙を紛失してしまったために、再発見するのにさらに５年かかってしまったという。

　この解は本質的に一通りであり、ユニットが一つだけの自明な場合を除いて６角魔方陣は他には存在しないということは、1964年にトリグスによって証明された。この魔方陣の中心数は５である。ということはつまり中心は５で確定しているのだから、他のユニットのどこでもいいから１つ数字が決定すれば、この６角魔方陣の１〜１９までの数字の位置が確定してしまうというとである。

　この６角魔方陣の定和は３８である。３８はもちろん１９の２倍だ。定和の本数は全部で１５本。この６角魔方陣を上下左右にしようが逆さまにしようが、解は本質的に一通りしかないので変化はない。しかし今とりあえず９−14−15を上に並べる位置で固定するとしよう。この横の２ユニット２つ、４ユニット２つ、５ユニット２つの５つの定和はみな38になっている。これを６０度右と左に回転させると、やはり５本ずつの定和があるので、全部で１５本の定和があること分かる。

　中心から第２輪の６ユニットの総和は28であり、中心の５も入れると33である。第３輪の１２ユニットの総和は157だ。そしてこの６角魔方陣の総和は１〜19までの総和だから、19の３角数であるとも言える。

　１　　２　　３　　４　　５　　６　　７　　８　　９
　 ＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　＋　　そして１０
　１９　１８　１７　１６　１５　１４　１３　１２　１１
　 ‖　　‖　　‖　　‖　　‖　　‖　　‖　　‖　　‖
　２０　２０　２０　２０　２０　２０　２０　２０　２０

　ところで幾何学的に見れば、１辺３の正８面体のユニット数もまた19である(１^２＋２^２＋３^２＋２^２＋１^２＝１９) 。そしてベクトル平衡体数というものを考えると、１辺３のベクトル平衡体数は５５（＝１＋１２＋４２）になっている。一般にベクトル平衡体の多重殻数の第ａ層の個数はａ^２×10＋２で与えられる。

　さてここでも横道に少し逸れるが、ベクトル平衡体の立体魔方陣というものを考えてみよう。しかしクリフォード･Ｗ.アダムスの６角魔方陣を今個人で制作するのは明らかに不可能である。ここでは第２層までの全部で１３ユニットからなるベクトル平衡体で、全ての定和ラインが中心を通るシンプルなものを考えてみよう。

１，２，３，４，５，６，７，８，９，10，11，12，13

　ノーマルに考えれば、中心数が７、対和が14が６組、これに中心数を入れて定和は21というものになる。総和は19の反転数91である。この他にも「中心数が１、対和が15、定和が16」のものと、「中心数が13、対和が13、定和が26」のものを想定すpara034ることができるだろう。