<030>整数を順次整数でくくってみる

　１から９までを全て足すと45になり、１〜10までを全て足すと55になる。このことは殆どの人が小学校の頃に実際に計算してみた記憶があるだろう。ところで５つのプラトン立体の点の総数50と面の総数50を足すと、完全な数と表現される100になる。そして同じくこの５つのプラトン立体の線の総数は９０である。この＜１から９までの総和＞と＜５つのプラトン立体の線の総数＞の間には、ちょっとした共通点があることに気がついた。

　０〜９の一桁の整数をそれぞれ最初から１個、２個、３個、４個に分けると、当たり前すぎるようだが次のようになる。そしてこのそれぞれの数の和は以下の通りである。

　　　数の個数１ 【０】 　　　　　　数の和 ０
　　　数の個数２ 【１，２】　　　　 数の和 ３
　　　数の個数３ 【３，４，５】　　 数の和 12
　　　数の個数４ 【６，７，８，９】 数の和 30

　ところで５つのプラトン立体には双対性から３つの系がある。つまり＜正４面体−正４面体＞＜正６面体−正８面体＞＜正12面体−正20面体＞の３つであるが、この５つのプラトン立体を＜正４面体＞＜正６面体と正８面体＞＜正12面体と正20面体＞に分けて、その線の総数、及びその半数を見ると次のようになる。

　ここまでだけでは【３，４，５】がピュタゴラスの直角３角形として、３辺の和が12、積が60になることや、０から９（もしくは１〜10）までを３角数として積み上げる形のテトラクティスの連想はあるにせよ、単なる偶然として見過ごしてしまいやすい。しかしここで立ち止まらずに、この整数列そのものを順次整数列的に束ねて見ていく、ひとつ上の数列にも注目してみよう。

　ここでもいろいろなものを見て取れるし、また連想も働くだろう。まずは<数の個数５>だが、この10進法そのものの10進法的累積和の数が、12−60進法のキーナンバーである60になっているし、また10進法における最大の整数である９番目の<数の個数９>の<数の和>は360になっている。おそらく10進法と12−60進法とは全く別の数理系を用いているわけではなく、ちょっと数の扱い方がずれているだけなのだろう。

　しかし先をあせらずに、まずはこの<数の個数５>のグループをじっくり見ていこう。これもすでに見たことではあるが、この10進法における最初の５つの２桁の整数【10,11,12,13,14】は、それぞれを２乗すれば以下の通り、地球の１年365日になり、また2年分の日数にもなっている。これはまた私達が10進法を用いて世界を数えていることと、この太陽系の惑星地球が、365日で太陽を１公転しているように見えるということとが、全くの無関係ではなく、むしろ非常に深いところで重要な関係性を有しているのではないかと推測させるひとつの事実である。

　　　10²＋11²＋12²＝100＋121＋136＝365
　　　13²＋14²＝365
　　　10²＋11²＋12²＋13²＋14²＝365×２＝730

　ちなみに15²＝225は金星の公転周期225日に等しく、また16^2/1＋16^1/2＝260は現在でもメソアメリカや「13の月の暦」を用いる人たちには重要視されている「神聖暦ツォルキン」の260日に等しくなる。また特に13ヶ月×28日＝364日、もしくは7日×52周＝364日という概念をベースにした「13の月の暦」を用いる人たちは、「累乗」と「ペンターブシステム」という概念と合わせて次の３の累乗の和も念頭に入れておいた方がいいだろう。

　　　３⁰＋３¹＋３²＋３³＋３⁴＋３⁵＝１＋３＋９＋27＋81＋243＝364

そしてテトラクティスもしくは数の俵積みの総数である「３角数」を、さらに整数列的に加算していく
「正４面体数」において、この12の正４面体数がやはり364であることも知っておいて損はないだろう。一応以下に１〜12までの正４面体数を記しておこう。

　さて寄り道はこのくらいにしてさらに<数の個数６>を見ていくことにしよう。この６つの数字は【15,16,17,18,19,20】で、こちらの方はマヤ的な20進法も10進法的な数の捉え方で見れば、20までの数もまた６で閉じていると捉えることができるだろう。

　そしてこの６番目の数の塊の和である<105>は100＋５とも解せるが、むしろ100に対する105としてそのまま20:21と捉える方が、イメージ的には馴染みやすいのまではないだろうか。つまり20世紀が終わって現在が21世紀であることや、現在の日本の消費税５％とはこの数値の比率20:21、つまり表示価格の値段に対して21／20分払っているということなどに当てはめて考えられるということだ。もちろんこれは単なるイメージの重ね合わせである。

　そして次の<数の個数７>だが、この７番目の７つの数とは【21,22,23,24,25,26,27】である。ここでふたたび「13の月の暦」を用いる人たちにはこの7番目の数<27>そのものの２乗が729であり、これから１を引いて２で割ると、やはり364になるということにも注目してほしい。すなわち364×２＋１＝27^2ということだ。また同じく７の３角数、つまり１＋２＋３＋４＋５＋６＋７が、27＋１＝28でちょうど「13の月の暦」の１ヶ月28日＝７日×４週間であることも失念してはならないだろう。

　またこの４週間28日を次のように０を加えて、４つの２対数の和７で28日のひとまとまりと捉えることも、時間の双方向性の概念などに思いを馳せることができれば全くの無意味ではないだろう。

　　　０＋１＋２＋３＋４＋５＋６＋７＝(０＋７)＋(１＋６)＋(２＋５)＋(３＋４)＝28

　さらに次の<数の個数８>は【28,29,30,31,32,33,34,35】の８つの数からなっている。この８つの数の総和は252だが、ドリームスペル（やテレクトノン）をプレイしたり聞いたりしたことのある人であれば、「2012年までに天王星と地球を時間トンネルでつなげること」が重要なミッションであるとされていることはご存知であろうが、その天王星の衛星アリエルはこの10倍の2520日の間にその母星を１公転しているのである。

　ところでマヤの神聖暦ツォルキンは260日である。現在やっている「整数列上の数を整数列の順番にくくっていく操作」そのものを考えてみると、最初に０を1つの数として扱って１つの枠を与えたが、０を数と見ないで１から順次くくっていくやり方も可能である。また「０と１とは数ではない」という言明もある。つまり２からを純正な数としてみなすというわけだ。

　このように見ていくと、整数列上の数を整数個ずつ順次くくっていくという操作もまた、どの数からカウントし始めてもそれぞれの意味合いは優劣のない等価でありうるということに気がつく。そこでこの８番目の８個の数を、ひとつずらして【29,30,31,32,33,34,35,36】の８つの数でくくってみると、その総和はちょうど260になるということが分かる。

　そして10進法の最後の<数の個数９>のグループは【36,27,38,39,40,41,42,43,44】の９個なのだが、この９個の数の総和はすでに見た通り360である。１つの円をコンパスで描いてそのままの半径で円周を区切っていくと、６つの60度の正３角形で閉じて収まるように、10進法の一桁で最大の数９のところで12−60進法の輪が大きく閉じてしまっているのである。

　しかしながらこれは当然のことだが、０を数に入れなかったり、０と１を別枠にしたりすればまた異なる数列になり、異なるものが透かし見えてくるかもしれない。また<数の個数９>で止めないで10，11，12…と見ていくことも必要だろう。つまりは数の上に何を見、また数と数の関係の上に何を見るかという、その見方と発想自体が問題なのであろう。

-------------------------------------------------------------

　以下に<数の個数10>以降も列挙しておこう。なおその下はひとつずれた数列とその総和である。

■０を数としての数列
　　　数の個数10【45,46,47,48,49,50,51,52,53,54】 数の和 495
　　　数の個数11【55,56,57,58,59,60,61,62,63,64,65】 数の和 660
　　　数の個数12【66,67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77】 数の和 858
　　　数の個数13【78,79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90】 数の和 1092
　　　数の個数14【91,92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104】 数の和 1365

■０を数としない数列
　　　数の個数10【46,47,48,49,50,51,52,53,54,55】 数の和 505
　　　数の個数11【56,57,58,59,60,61,62,63,64,65,66】 数の和 671
　　　数の個数12【67,68,69,70,71,72,73,74,75,76,77,78】 数の和 870
　　　数の個数13【79,80,81,82,83,84,85,86,87,88,89,90,91】 数の和 1105
　　　数の個数14【92,93,94,95,96,97,98,99,100,101,102,103,104,105】 数の和 1378

　<数の個数10>ではその総和の495が地球の１年365日と神聖暦の半分の130の和（495＝365＋130）になっているが、またこの数は495＝55×９＝99×５でもある。これに１を足した496は31の３角数になっている。

　　　858＝66×13
　　　1092＝84×13（天王星の公転周期は84年である。）
　　　1105＝85×13
　　　1365＝105×13　1000＋365　（365日は地球の公転周期）
　　　1378＝106×13　1000＋378　（378日は土星の会合周期）