para018

　改めて言うまでもないが、「フィボナッチ数列」とは下に示したように初項<１>、第２項<１>で、以下順次前２項の和となる数の数列である。しかしなにもこの初項と第２項が必ずしも１と１である必要はない。そこで前２項の和が第３項目になるという文法はそのままで、別の数を入れてみることにしよう。では順を追って展開を見ていくために、初項は１に固定し、第２項を２，３，４…と順次自然数を入れていくことにしよう。（なおここには通奏低音として、初項と第２項を別枠として扱い、「数は第３番目から始る」というテーマが流れている。）まず初項<１>、第２項<２>としたものが２番目の数列である。

＜初項１，第２項１の数列(フィボナッチ数列）＞

項数	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０	１１	１２	１３
F1;1	１	１	２	３	５	８	13	21	34	55	89	144	233

＜初項１，第２項２の数列＞

項数	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０	１１	１２	１３
F1;2	１	２	３	５	８	13	21	34	55	89	144	233	377

　これは見てすぐ分かるように、フィボナッチ数列の初項が抜け落ちただけで、以下順次１つずつずれた同じ数列である。次に初項<１>、第２項<３>にしたものを下に示した数列である。この数列は特別に「リュカ数列」と呼ばれている。その特徴は様々あるのだが（※１）、まず次のことが言える。

　　　「リュカ数の第ｎ項と黄金比φのｎ乗とは極似した値である。」

　今試しに黄金分割比φ（＝１．６１８…）の累乗した値を見ると次のようになる。なお、その下の数列は黄金分割比φの逆数１／φ（＝０．６１８…）の累乗の値である。

＜初項１，第２項３の数列(リュカ数列）＞

項数	１	２	３	４	５	６	７	８	９	１０	１１	１２	１３
F1;3	１	３	４	７	11	18	29	47	76	123	199	322	521

＜黄金分割比φの累乗の数列＞

ｎ乗	φ¹	φ²	φ³	φ⁴	φ⁵	φ⁶	φ⁷	φ⁸	φ⁹	φ¹⁰	φ¹¹	φ¹²	φ¹³
＝	1.618	2.618	4.256	6.854	11.09	17.944	29.034	46.98	76.013	122.992	199.005	321.997	521.002

＜黄金分割比の逆数１／φの累乗の数列＞

ｎ乗	φ^1/2	φ^1/3	φ^1/4	φ^1/5	φ^1/6	φ^1/7	φ^1/8	φ^1/9	φ^1/10	φ^1/11	φ^1/12	φ^1/13	φ^1/14
＝	0.618	0.382	0.236	0.09	0.056	0.034	0.02	0.013	0.008	0.005	0.041	0.003	0002

　さてここでφそのものは超越数（※２）に似た特性を持つので何乗しても整数にはならないが、その逆数１／φを同じだけ累乗した数を足したり引いたりすることによって、整数化することが可能である。すぐ上の数列表を見てもらえば次のことが分かるだろう。

　　　「φⁿ±１／φⁿとリュカ数の第ｎ項とは等しい。」

　つまり黄金比φの累乗数から、黄金比φの逆数１／φを同じだけ累乗した数を引く（もしくは足す）ことによって得られる数列は、リュカ数そのものだということである。なお累乗する数が奇数の時は差から、偶数の時は和からこの数列が得られている。ということはリュカ数列の数値が、黄金分割比φの累乗の数値よりも、その逆数の累乗分だけプラスとマイナスにずれて振動しつつ、限りなく漸近していくということである。

φ¹－１／φ¹＝φ^1/2＝１
φ²＋１／φ²＝φ^1/3＝３
φ³－１／φ³＝φ^1/4＝４
φ⁴＋１／φ⁴＝φ^1/5＝７
φ⁵－１／φ⁵＝φ^1/6＝１１
φ⁶＋１／φ⁶＝φ^1/7＝１８
φ⁷－１／φ⁷＝φ^1/8＝２９
φ⁸＋１／φ⁸＝φ^1/9＝４７
φ⁹－１／φ⁹＝φ^1/10＝７６　　　（以下省略）

（この項、その２に続く）

（※１）例えば３項ごとに偶数が現れている。が、これは初項と第２項とが奇数なので、<奇数>＋<奇数>→<偶数>となり、また<偶数>＋<奇数>→<奇数>、<奇数>＋<偶数>→<奇数>であるから、<偶数>＋<偶数>→<偶数>のパターンがないためだ。また、任意の項を２倍して１項前の数を足すと、２項先の数値になるなどもあるが、ここでは省略。
（※２）「超越数」とはπや自然対数の底ｅのように、整数係数のどの代数方程式の根にもならない実数のこと。黄金比φは数式で表わすことができるので、超越数ではない。