<008> πの代用値22/7について  20010313rep.

 円周率π(=3.141592654…)を古代エジプトでは22/7(=3.142857143…)で代用していたという。「うーん、この誤差は0.04%か、なかなかいいセンいっている」で終わればこの話はそれまでである。しかしこれにはもう少し深いバックグラウンドがあるのではないだろうか。まず1から11までの階乗を見てみよう。

(a)11!=1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11=39916800
(b)7!=1X2X3X4X5X6X7=5040
(c)11!/7!=8X9X10X11=7920

 (a)は1から11までの11個の数を掛けているのだが、1という数は掛けても掛けなくても変わらないので、2から11までの10個の数の積と考えても同じである。この11!=39916800=40000000−95200で、ほぼ4000万である。これを10進法ホロンで考えてみよう。まずこの数値を10進法ベースのメートル法的発想で単位をメートルとすると、40000000m=40000kmで、地球の周長となる。

 また月と太陽の直径比は3476km:1392000km≒1:400(より正確には1:400.46029)であり、一方月−地球間の平均距離と太陽−地球の平均距離の比は384400km:149600000km≒1:390でこちらもほぼ1:400と、上記の数値の10進法ホロンとなっている。(単位をcmとすると、やはり400kmとなる)

 (b)は7の階乗(1から7までの積)であり、(c)は8から11までの積だが、この(c)を分母、(b)の倍を分子に置いた数を考えてみよう。また最初に上げた古代エジプトで用いていたというπの代用の数比22/7の値は次の通りになる。つまり(d)を最大公約数720で約分すれば(e)となるということだ。

(d)(8X9X10X11)X2/(1X2X3X4X5X6X7)=15840/5040
       =3.142857143
(e)22/7=3.142857143

 ここでエジプトの3角形とも言われる、辺長比が3:4:5の直角3角形を念頭に、3,4,5という連続数3数を考えてみよう。3+4+5=12であり、3X4X5=60である。これはまさにシュメール、バビロニア、エジプトの12−60の数の論理に対応する数値だ。ところでこの3つの数の和12と積60を掛け合わせた数もまた720となっている。そして6の階乗(6!=1X2X3X4X5X6)もまた720である。(そして720はもちろん360×2でスピン1/2でもある。)

(f)3+4+5=12
(g)3X4X5=60
(h)(3+4+5)+(3X4X5)=72
(i)(3+4+5)X(3X4X5)=720
(j)6!=1X2X3X4X5X6=720
(k)8X9X10=720

 これらのことから、前述の7!(=1X2X3X4X5X6X7)を6!(=1X2X3X4X5X6)で割ると7となり、また11!/7!(=8X9X10X11)を8X9X10で割ると11となる。ここで後者を2倍して7/22とすると最初に上げた古代エシジプトのπの代用値が出てくる。これを文章表現すれば「8から11までの積の2倍を、1から7までの積で割ると22/7というπの代用の数値となる」となるが、実は下記のことと同値である。

(l)(8X9X10X11)X2/(1X2X3X4X5X6X7)
    =(720X22)/(720X7)=22/7
(m)11!=1X2X3X4X5X6X7X8X9X10X11
    =720X7X720X11=(720)2X77=39916800