３６５というテーマからは外れるが、もう少し５という数について見てみることにしよう。０，１，２，３，４の２乗の和を、５を意識して考えれば次のようになる。この形は前述の１０，１１，１２の２乗の和及び１３，１４の２乗の和が共に３６５となるということと相似形をしていないだろうか。

　　　　　�@０²＋１²＋２²＝５
　　　　　�A３²＋４²＝５²
　　　　　�@’１０²＋１１²＋１２²＝３６５
　　　　　�A’１３²＋１４²＝３６５

　この�Aは右上図のように考えれば，辺長比が３：４：５の直角３角形をピュタゴラスの定理で表した形でもある。ところでこのエジプトの直角３角形の比率４の辺長を半分の２にすると、新たにできる直角３角形の斜辺は辺長比が√１３となる。この√１３を少数に変換すると３.６０５５５１２７５…で、だいたい３.６０または３.６１となる。この数値を１００倍して１０進法ホロンとして見ると、すでに見た４直角・円の１周分の角度３６０度、もしくは２０進法最大の数１９の２乗である３６１と同じ数になる。実はこの１９ｘ１９＝３６１は、碁盤の縦横の線の数でもある。したがって囲碁の碁石を置ける点は全部で３６１個あるということも理解できるだろう。

　なお数を視覚的に把握するということで、累乗するということと次元を上げるということとを同型対応して見てきたが、この論法の延長線上でこの�Aを一つ次元を上げて同様の構造を、５と６という数の問題も念頭に入れて見ると次のようになる。

　　　　　�B３³＋４³＋５³＝６³（＝２１６＝１２ｘ１８）
　　　　　�C３＋４＋５＝６ｘ２＝１２
　　　　　�D１³＋２³＋３³＋４³＋５³＋６³＝４４１＝２１³

　また�Cと�Dはそのままでは対称性を見て取れないが、１２²の１４４と２１²の４４１との反転対称性を考えることができるだろう。つまり�Eのようなことだが、これと同様の形は�Fのように１３とその反転数３１とその２乗数同士の関係にも見て取れる。つまり１２と１３の間に１つの大きなギャップ、反転界面があるという表現は、２乗することによってそれ自身の数値及び塁乗数が反転する１２という数と１３という数同士の反転対称の界面でもあることをも含んでいるのである。

　ここでひとつ注目したいのは、上図のように項数を増やしていき、その１２項目の正４面体数を見ると３６４であるということである。これに正４面体の７本の回転対称軸全てが通る重心もしくは全てを包む外接球をもう１つの全てである１と考えて、１２項までで３６４＋１＝３６５と見ることもできるだろう。

　なおこれと同様の発想であるが、(５６７)で波紋状１３角形数第８項に見たように、数を単なる多角形にせず水面の波紋のような同心円上に任意の自然数の和を倍数ずつプロットして、その総和を見る「波紋状多角形数」という数の把握の仕方もある。通常の多角形数は一つの角から２本の辺の延長線上に伸びて行くので、ｎ番目のｋ角形上の数は（ｋ−２）ｎ個であるのに対し、波紋状多角形数の方は中心から放射状に伸びて行くので、ｎ番目の波紋状ｋ角数はｋｎ個であるという違いがある。さらにそれらの一つ上の次元に対応させたパイルしゆく総数を「波紋状多角錐数」として、その数列を見て行くことも可能である。これらの表上の数値には様々な対応数が散見できるが、現在はまだそれらを貫いて対応変換する術を発見できないので、それらについての言及は後の機会に譲る事にしよう。

　　　　　�E１２2＝１４４        ← 反転 →      ４４１＝２１2
　　　　　�F１３2＝１６９        ← 反転 →      ９６１＝３１2