（E014）

■１■ドイツの物理学者クラドニは、18世紀末頃から弦や棒の振動の研究を始
め、「音響学の父」と呼ばれるようになった。彼は水平に置いた板や膜が横振
動をしている上に砂を撒くと、その砂はほとんど振動しない節線に集まること
を発見した。この砂が作る幾何学的形状はクラドニパターンと呼ばれている。

■２■ティンパニ型に張られた膜に、ドラム周囲から中心への１／４の点に震
動源を据えて振動数を上げていき、膜上の砂が最初に円状になる時の周波数を
基本の１とする｡以下順次発生する幾何学的パターンと周波数を見ると､この２
者には一定の関係比があるのが分かる。なお上音周波数は倍音関係にはない。

■３■弦は振動中でも不動の節点があるのに対し、膜の場合は上下に振動しな
い節線が生じる。この節線には(a)直径方向の節線パターンと、(b)ドラムヘッ
ドと同心円の節線パターン、そしてその組み合わせパターンがある。上図では
(a b) という形で表現し、結節部の両側は逆方向に動くので塗り分けてある。



■４■膜上に生じる直径方向の節線は､基本モードの<0 1>から始まって<1 1>,
<2 1>,<3 1>,<4 1>,<5 1>,<6 1>で1,2,3,4,5,6本となり、それぞれ膜面を2,4,
6,8,10,12分割する｡振動数比は基音１に対し1.59、2.14、2.65、3.16、3.65、
4.15で、各振動数間の差は0.59、0.55、0.51、0.51、0.49、0.5でほぼ0.5だ。

■５■同様に同心円パターンのモード〈0 1>,<0 2>,<0 3>は同心円の数が、１
,２,３である。こちらは<0 1>を基底の１として、周波数比が 2.30、3.06と順
次1.3 を加算した振動数として捉えられる。もし<0 4>を想定すれば 4.90と予
測されるが、項数が少なすぎ。ただこのデータの中でも注目すべきものある。

■６■ここでは<5 1>が最初の振動数比に対して3.65倍になっていること､また
<0 3>では3.60倍になっているという点に注目しておきたい。最初のモード<0
1>の振動比を１ではなく100とおけば､シンプルに365と360となるということだ
が、円の10分割や３重円という表れ方にも偶然以上の何かを想定したくなる。



■７■これらのことはまた流体表面の振動や球面上の振動にも拡張できる。流
体層の振動を操作することにより正３角形・正６角形・長方形の格子・準結晶
配列・複数形状の混合の定常波パターンを示すことができる。また球や立方体
等の立体の振動共鳴形体の表面や内部に生じる定常波パターンも想定できる。

■８■ここで改めて９番目の<0 3>と10番目の<5 1>に注目してみよう｡<0 3>は
基本振動数との比が１：3.60であり、形状は直径方向の節線がない３重の円で
ある。一方<5 1>の方は比が１：3.65で､形状は円と５本の節線で10等分された
形だ。この９番目と10番目は360及び365の10進法ホロンであることが分かる。

■９■この９番目と10番目のパターンは異なる２つの節線グルーブの系に属し
ており、互いに独立して安定している。それにしても振動周波数がわずか0.05
の差異で､これほど異なるパターンとして立ち上がること自体が注目に値する｡
この２者の差異もしくはずれの0.05は１の１／20だ。つまり20の逆数である。



■10■この3.60は３重の円から３次元的安定や360度的な空間､マヤの１トゥン
やシュメール､バビロニア､エジプト等の１年 360日の暦をも想起させられる。
一方3.65の方は現在の１年365日､及び人間の体温36.5〜37℃を連想する。また
この円を10等分する節線は､ＤＮＡの２重螺旋を垂直方向から見た形に重なる｡

■11■なお互いに独立して存在すると表現した２つの節線の系は、６番目のパ
ターンの<1 2> において始めて重畳して立ち上がっている。この振動数比2.92
はその1000倍の2920という数において、月の99朔望周期、水星の50自転周期、
金星の５会合周期、地球の８年等の様々な周期が位相を揃えているのである。

■12■しかしこのような｢数の冒険｣もしくは｢数的呼応の列挙｣だけでは、どう
しても意識が混濁するような不透明感が残る。しかし数値的照応の背後に何ら
かの構造を探るという作業に強迫観念や性急さが忍び込むと、静的秩序への還
元主義的発想にはまりこみやすい。そのことを充分自戒しつつ慎重に進もう｡

（※）周波数比の基音の振動数は次の式で与えられる。ｆ１＝（0.765／２ａ）×（Ｔ／ρ）^１／２
　　　（ａは膜の半径、Ｔは膜の縁の単位長あたりの張力、ρは膜の面密度）　
　　　ところでこの0.765／２（＝0.3825）は１／φ^２（＝0.3819…）に近似している。また１−0.765は
　　　0.235で235朔望周期＝19年のメトン周期を連想させる。さらに0.765／２＝153／400でもあ
　　　るが、153の平方根は12.3693…で、１年の間の月の朔望周期回数にほぼ等しい。
　　　　　　　　　0.765／２＝153／400　200＝153＋47