Ｅ-009　２つの準正多面体を比較する

■１■プラトン立体は同一の正多角形を面とする多面体だったが、準正多面体は複数種の正多角形を面とする多面体の中で，稜線まわりの面の並び方が全て同一で区別がつけられない多面体のことである。この条件に叶うのは13種あるアルキメデス立体の中でも、ベクトル平衡体と20・12面体の２種だけだった。

■２■ベクトル平衡体はどの稜線も、正方形と正３角形に挟まれ、頂点には正方形と正３角形が交互に６つ集まっている。一方20・12面体はどの稜線も、正５角形と正３角形に挟まれ、頂点には正５角形と正３角形が交互に６つ集まっている。１辺が１の時の外切球半径は、前者が１、後者がφで共に美しい。

■３■ベクトル平衡体は、正６面体または正８面体の各頂点を、稜線の線心まで切り落とした立体である。面は正３角形８、正方形６の14面、線は24本、点は12だ。20・12面体は正12面体または正20面体の各頂点を、線心まで切り落とした立体で、面は正３角形20、正５角形12の32面、辺は60本、点は30だった。

　　　

■４■20・12面体を内部補強なしでを作れるか試しにストローで制作している時、線を辿っていくとどの線も真っ直ぐ立体を一回りしていることに気が付いた。地球で言えば赤道のように最大の円環で、６つの正10角形を作っていたのだった。なおベクトル平衡体の方は、全部で４つの正６角形の大円がある。

■５■このベクトル平衡体を面点変換すると、面の対角線比が白銀比１：√２の菱形12面体となり、20・12面体を面点変換すると、面の対角線比が黄金比１：φの菱形302面体となる。なおアルキメデス立体の系とは別だが、面の対角線比が黄金比１：φの菱形12面第２種というものも存在する。(C-013参照)

■６■なお正８・６面体系のベクトル平衡体の面は正３角形と正方形(正４角形)だが、正20・12面体系の方は20・12面体ではなくバッキーボールすなわち切頭20面体の面の形は正５角形と正６角形になっている。プラトン立体とアルキメデス立体の中で、面角数は斜方切頭立方８面体の正10角形が最大である。