Ｃ-013　もう１つの菱形12面体（第２種）

■１■菱形12面体にはもう１種類が存在する。それは1960年にビリンスキーによって発見された等面菱形多面体の１種で、菱形12面体第２種という味気ない名前で呼ばれている。点14、線24、菱形の面12は変わらない。ただこの菱形の面の鈍角及び鋭角の値が異なり、したがって対角線の比律も異なるのである。

■２■元々の菱形12面体、つまり第１種の方は菱形の鈍角と鋭角が109.5度と70.5度だったのに対し、第２種の方は鈍角の角度が116.57度、鋭角の角度は63.43度となっている。109.5度と70.5度は正４面体の中心角と２面角だったが、116.57度は正12面体の２面角であり、63.43度は正20面体の中心角である。

■３■また第１種は菱形の対角線の比が１：√２の白銀比だったのに対し、第２種の方の対角線比は１：φ、つまり黄金比になっている。両者はトポロジー的には等価な多面体だ。しかしこの第２種菱形12面体は，菱形の鋭角と鈍角が混在する頂点をもつので対称性が低い。内接球も中接球も外接球も持たない。

■４■第２種の菱形12面体は14の頂点があるが、その内訳は鋭角が４つ集まる点がを２つ、鈍角が３つ集まる点が４つ、鋭角３＋鈍角１の点が４つ、鋭角１＋鈍角２の点が４つである。また回転対称軸は、４つの鋭角頂点を結ぶ軸が１本、対向する面心を貫軸が２本の合計３本の直交する２重回転対称軸がある。

　　　

■５■菱形多面体には菱形６面体・菱形12面体・菱形12面体第２種・菱形30面体・菱形20面体がある。菱形の対角線が白銀比の菱形12面体以外は全て対角線が黄金比になるので、これ以外をまとめて黄金菱形多面体と呼ぶ。黄金菱形６面体には尖鋭型(acute)と扁平型(obtuse)があるので、全部で５種類となる。

■６■５種の黄金菱形多面体はＡ6(acute)、Ｏ6(obtuse)、Ｂ12(Bilinsky)、Ｆ20(Fedrov)、Ｋ30(Kepler)と名づけられている。対角線比が1：φの黄金菱形をある方向に平行移動させたものがＡ6とＯ6だ。それをさらに平行移動させるとＢ12に，Ｂ12の平行移動でＦ20が、さらにその平行移動でＫ30が生じる。

■７■Ａ6とＯ6は３次元の立方体と、またＢ12は４次元の立方体と、Ｆ20は５次元の、Ｋ30は６次元の立方体とそれぞれ等価になる。またＢ12の中にはＡ6とＯ6が２つずつ入っている。Ｆ20の中には１つのＢ12とＡ6とＯ6が３つずつ、Ｋ30の中には１つのＦ20とＡ6とＯ6が５つずつ入っていることになる(※)。

(※)Ｆ20の中にはＡ6とＯ6が５つずつ、Ｋ30の中にはＡ6とＯ6が10個ずつ入っているとも表現できる。
(※)画像と内容は 『Polyhedronの日記』 を参考にさせてもらいました。