Ｄ-001　正12面体と正20面体の２角について

■１■プラトン立体のうちで５重対称性を有する正12面体と正20面体は互いに双対の立体である。正12面体は点20、線30、面は正５角形12の凸多面体であり、正20面体は点12、線30、面は正３角形20の凸多面体である。どちらも重心を介して対称的な位置の面は平行になっている。また回転対称軸は共に31本だ。

−	面　数	点　数	線　数	回転対称軸	面と点の和	２面角	中心角
正４面体	４	４	６	７	８	70°32'	109°28'
正６面体	６	８	１２	１３	１４	90°	70°32'
正８面体	８	６	１２	１３	１４	109°28'	90°
正１２面体	１２	２０	３０	３１	３２	116°34'	41°49'
正２０面体	２０	１２	３０	３１	３２	138°11'	63°26'

■２■正４面体の２面角70度32分と中心角109度28分は、正８面体の２面角70度32分と正６面体の中心角109度28分にも表れており、その２角の和は平角180度を作っていた。つまり簡単に言えば、机上で近づければぴったり接した。黄金比を生む５重対称性を有する正12面体と正20面体の２つの角はどうだろう。

■３■正12面体の２面角は116度34分、中心角は41度49分であり、正20面体の２面角は136度11分、中心角は63度26分である。正12面体の２面角116度34分と正20面体の中心角63度26分の和は平角180度となる。またさらに正20面体の２面角136度11分と正12面体の中心角41度49分の和も、平角180度となっている。

　　　正20面体の中心角(63°26')＋正12面体の２面角(116°34')＝平角(180度)
　　　正20面体の２面角(138°11')＋正12面体の中心角(41°49')＝平角(180度)

■４■なおこの正12面体と正20面体の２角に関しては、正４面体・正６面体・正８面体における直角90度のように、平角180度との関係も見逃すことができない。正20面体の２面角138度11分と平角180度との比はほぼ10：13であり、また正12面体の２面角116度34分と平角180度との比はほぼ13：20になっている。

　　

■５■平角180度は、地球の赤道傾斜角23.4度の10倍の234度との比が10：13になる。なおこの234という数は、金星の自転周期243日と公転周期225日の平均であり、月の８朔望周期でもあった。13：20はそのままマヤの13進法と20進法に同型対応視でき、また13×20＝260の神聖暦ツォルキンを想起させられる。

■６■さらに言えば、金星の会合周期584日と火星の会合周期780日の比は10：13である。また土星の会合周期378日と金星の会合周期584日との比は13：20になっている。人間の可視領域は電磁波の波長が378Hz〜780Hzの帯域にあり、その外は紫外線及び赤外線で見えない。なお584Hz周辺は黄色として認識する。

　　　10：13≒平角180度：地球の赤道傾斜角23.4度の10倍234度
　　　10：13≒平角180度：金星の公転周期225日と自転周期243日の平均234日

　　　10：13≒正20面体の２面角138度11分：平角180＝9.99796：13…
　　　13：20≒正12面体の２面角116度34分：平角180＝13：19.9522…

　　　10：13＝金星の会合周期(584日)：火星の会合周期(780日)
　　　13：20＝土星の会合周期(378日)：金星の会合周期(584日)

■７■下図は、正12面体と正20面体の面点変換の過程に生じる立体を挿入した円環図である。右回りと左回りの双方向性があるが、相貫体としての形状を示すもので、相対的な立体の大きさは問題にしていない。なお<加頭>という接頭語は<切頭>(truncated)に対応する安直なネーミングで特に深い意味はない。