Ｄ-001　正12面体と正20面体の２角について

■１■プラトン立体の中で５重対称性を有する正12面体と正20面体は互いに双対の立体である。正12面体は点20、線30、面は正５角形12の凸多面体であり、正20面体は点12、線30、面は正３角形20の凸多面体だ。どちらも重心を介して対称的な位置の面は逆向き平行になっている。また回転対称軸は共に31本だ。

■２■正４面体の２面角70度32分と中心角109度28分は、正８面体の２面角70度32分と正６面体の中心角109度28分にも表れており、その２角の和は平角180度を作っていた。つまり簡単に言えば、机上で近づければぴったり接した。黄金比を生む５重対称性を有する正12面体と正20面体の２つの角はどうだろう。

■３■正12面体の２面角は116度34分、中心角は41度49分であり、正20面体の２面角は136度11分、中心角は63度26分である。正12面体の２面角116度34分と正20面体の中心角63度26分の和は平角180度となる。またさらに正20面体の２面角136度11分と正12面体の中心角41度49分の和も、平角180度となっている。

　 正20面体の中心角(63°26')＋正12面体の２面角(116°34')＝平角(180度)
　 正20面体の２面角(138°11')＋正12面体の中心角(41°49')＝平角(180度)

■４■なおこの正12面体と正20面体の２角に関しては、正４面体・正６面体・正８面体における直角90度のように、平角180度との関係も見逃すことができない。正20面体の２面角138度11分と平角180度との比はほぼ10：13であり、また正12面体の２面角116度34分と平角180度との比はほぼ13：20になっている。



■５■平角180度は、地球の赤道傾斜角23.4度の10倍の234度との比が10：13になる。なおこの234という数は､金星の自転周期243日と公転周期225日の平均値であり、月の８朔望周期でもあった。13：20はそのままマヤの13進法と20進法に同型対応視でき､同時に13×20＝260の神聖暦ツォルキンを想起させられる。

■６■余談になるが、金星の会合周期584日と火星の会合周期780日の比は10：13である。また土星の会合周期378日と金星の会合周期584日との比は13：20になっている。人間の可視領域は電磁波の波長が378Hz〜780Hzの帯域にあり、その外は紫外線及び赤外線で見えない｡なお584Hz周辺は黄色として認識される｡

　　10：13≒平角180度：地球の赤道傾斜角23.4度の10倍234度
　　10：13≒平角180度：金星の公転周期225日と自転周期243日の平均234日

　　10：13≒正20面体の２面角138度11分：平角180＝9.99796：13…
　　13：20≒正12面体の２面角116度34分：平角180＝13：19.9522…

　　10：13＝金星の会合周期(584日)：火星の会合周期(780日)
　　13：20＝土星の会合周期(378日)：金星の会合周期(584日)

■７■下図は、正12面体と正20面体の面点変換の過程に生じる立体を挿入した円環図である。右回りと左回りの双方向性があるが、相貫体としての形状を示すもので、相対的な立体の大きさは問題にしていない。なお<加頭>という接頭語は<切頭>(truncated)に対応する安直なネーミングで特に深い意味はない。