Ｄ-002　正12面体の回転対称軸と３接球

■１■正12面体と正20面体の回転対称軸を比較してみよう。まず上段の正12面体から見てみると、30本ある線の中心を結ぶ<線心−線心>の２重回転対称軸が15本、20ある頂点を結ぶ<点−点>の３重回転対称軸が10本、12ある面の中心を結ぶ<面心−面心>の５重回転対称軸が６本で、合計31本の回転対称軸がある。

■２■次に下段の正20面体の回転対称軸も見てみよう。30本ある線の中心を結ぶ<線心−線心>の２重回転対称軸が15本、12ある頂点を結ぶ<点−点>の３重回転対称軸が６0本、そして20ある面の中心を結ぶ<面心−面心>の５重回転対称軸が10本で、で合計31本がある。図の上下は面点変換の位置で対応している。

■３■さてこの正12面体と正20面体の回転対称軸のうち、この図で左に描いた<線心−線心>の回転対称軸から３本を選んで３面図を描くことができる。つまりこれら15本ある<線心−線心>の２重回転対称軸は、３軸直交する５セットが立体の重心を介して纏められているのだ。ではそれを正12面体でみてみよう。

　　　

■４■この<線心−線心>の２重回転対称軸を、視線と重ねた中心点として描いた図は、５角形が４つ見えるが、ここに３接球を重ねると分かり易い。赤で示した円が内接球、青で示したのが中接球、緑で示したのが外接球の平面投影図である。視線と重なる中心０と、青で示した２本が３軸直交の投影線である。

　　　

■５■正12面体の外接球と内接球の半径比は1.371567…：１＝１：0.72909…である。分かり易いように両辺を1000倍すると1000：729≒137：100となる。729は３の６乗であり、地球の１年の２倍に近似している。また137は素粒子の微細構造定数の逆数に近似している。1000と72の和はタクシー数である(※)。

(※)1729：ラマヌジャンのタクシー数…２通りの２つの立方数の和で表せる最小の数。ラマヌジャンとＧ.Ｈ.ハーディ逸話からこの名がある。　1000＋729＝1729＝１^３＋12^３＝９^３＋10^３