Ｄ-003　正12面体の３軸直交３面図

■１■正12面体をぴったり内接する正６面体の１辺と、内接する正12面体の１辺との比は１：φ^２＝１：2.618…になっている。２重回転対称軸を中心とした投影図で見ると、この１：φ^２の比が見て取れる。それはこの投影図をそのまま内包する正方形が、そのまま正６面体の１面と対応しているからである。

■２■菱形12面体は<点−点>の４重回転対称軸の３本を直交３軸として軸方向に視線を合わせると、全て同じ「田」という文字のように見えた。この正12面体の２重回転対称軸による直交３軸では、軸方向に視線を合わせると(90度回転はある)全てこの右に示した、５角形４面が収まった６角形として見える。

　　　

■３■正12面体の線は30本あるので、その<線心−線心>の２重回転対称軸は15本あり、そのうちの３本から直交３軸ができるセットが５つあると表現したが、言葉だけではかなり分かりにくい。そこで30本の稜線を、それぞれ直交３軸を作る３組６本のセットごとに５色でその位置を示してみたのが上図である。

　　　

■４■上図は<線心−線心>の２重回転対称軸を３軸直交させて、その投影図を３面図として示したものだ。左より内接球、中接球、外接球を正12面体の本体及び３面図に描いてある。可視のものがあるとその背後は見えないので、私たちの視野は２次元的球面を内部から見ているようで、奥行き方向は見えない。

　　　

■５■正12面体には、30本の線のうちの対の位置にある２本を通り、正12面体を２分する15の鏡面対称面が存在する。この６角形は菱形30面体もしくは惑星グリッドの15ある大円に対応している。正12面体の31本の回転対称軸と15の鏡面対称面の円周(正６角形の周長)の和は、人間の染色体数と同じ46本になる。

　　　

■６■上では重心を介して対称的な位置にある平行な稜線を含む、正12面体を２分する鏡面対称面を見た。それではこの正12面体の点・線・面の要素を用いて、体積を３分割することはできるだろうか。上図のように、底面に対して平行な正５角形を２つ描けば、それにより分割した３つの部分の体積は等しい。