Ｄ-004　正12面体の内部補強を反転する

■１■正12面体を綿棒で制作する時、そのままでは重力によって自壊して形を成さない。そこで12面の正５角形の内側にそれぞれ５角錐になるよう60本補強すると自立する。この補強した５角錐の綿棒を外側に反転させると、正３角形60面からなる、わずかに凹な立体の正12面体のダ・ヴィンチの星に変形する。

■２■この形は惑星グリッド(６方20面体＝斜方切頂20・12面体の双対立体)によく似ているが、前者のわずかに凹な菱形(もしくは正３角形２枚)の対角線が１：√３＝１：1.732…であるのに対し、惑星グリッドの菱形は対角線の比が１：φ＝１：1.618…である。誤差は約６％なので離れると区別がつかない。



■３■なお最初に補強した正12面体には、12の正５角錐の頂点が内部の重心方向を向いているが、その内部空間には同じ長さの綿棒30本をうまく交差させることにより、各綿棒が黄金比で絡み合って形を成し、プラトン立体に対してケプラー・ポアンソ立体と呼ばれる４種立体の内の１つ小星形12面体ができる。

■４■さらに最初に正12面体を自立させるために内側に補強した60本の綿棒だけに注目すると、これもケプラー・ポアンソ立体の１つである大星形12面体であることが分かる。最初に正12面体を補強するために作った形なので、この大星形12面体の外側の頂点を結べば、正12面体になることが理解できるだろう。



■５■この最初に補強した大星形12面体でもある５角錐12個の、内向きの頂点を結ぶと正20面体になる。そしてこの12の頂点にぴったりはまり込むように小星形12面体が入り込む。さらにこの小星形12面体の小さな12個の５角錐部分を全て取り払うと、そこには正12面体が出現する。黄金比の連続が実に美しい。

(※)画像背景が青い画像は『高校数学教材-ikemath』より借用加工しました。画像背景が黒い綿棒多面体の画像は山本裕一氏のブログ『真理探究と歴史探訪』より借用加工しました。