Ｂ-013　正６面体のダ・ヴィンチの星

■１■綿棒で多角形を作る場合、３角形は固定されて動かないが、４角形以上は外部から力が掛かると歪みやすい。綿棒を12本使って正６面体を作っても、全の面が正方形なので、そのままでは重力で形が歪んでしまう。そこで内部にも綿棒で均等に補強することで、正６面体を固定することができるのである。

■２■上図の３つは内部構造が分かり易いように、異なる角度から見た同じ正６面体である。綿棒の軸を赤く塗ったところが補強部分である。角頂点と重心を結んでできる長さより１辺と同じ長さの綿棒は長いので、交差して画像のように接続する。これを全て内側から外側にひっくり返したらどうなるだろう。

　　　

■３■その形を示したのが上図だ。内部で補強していた、辺の長さがみな同じ６つの正４角錐を、頂点を外側に反転させて、正６面体の各面に底面で接続した形である。正６面体のダ・ヴィンチの星という。プラトン立体の各面に同様に辺と同じ長さの多角錐を付けた形を、その立体のダ・ヴィンチの星と言う。

■４■このピラミッド型を各辺が同じ正４角錐ではなく、底辺と斜辺の比を１：(√２)／２にすると菱形12面体になる。これは正６面体の各頂点と重心を繋いでできるピラミッド型と合同で、正８−６相貫体の各頂点を繋いでできる形だった。各面の菱形の対角線の比は１：√２で、内角は70.5度と109.5度だ。

　　　

■５■ダ・ヴィンチの星とは、プラトン立体の各面に、辺長が全て等しい多角錐を貼り合わせた立体のことで、レオナルド・ダ・ヴィンチが考案した。プラトン立体が５種類あるので、ダ・ヴィンチの星も５種類ある。正４面体のダ・ヴィンチの星(※)は、４次元の正多胞体の１つである正５胞体の展開図となる。

■６■正８面体のダ・ヴィンチの星はケプラーの星形８面体である。あとの２つは、正12面体の各面に正５角錐を貼り付けた形の正12面体のダ・ヴィンチの星と、正20面体の各面に正４面体を貼り付けた形の正20面体のダ・ヴィンチの星だ。構成要素は共に正３角形60枚、辺90、頂点32だが構造が異なっている。

　　　

■７■正12面体のダ・ヴィンチの星は、全部で４種類ある星型正多面体の一種である小星型12面体に、また正20面体のダ・ヴィンチの星は同じく星型正多面体の一種の大星型12面体に、それぞれ似た図形となる。星型正多面体はあと大12面体と大20面体という２つが存在するが、後でまとめて見ることにしよう。

(※)正４面体のダ・ヴィンチの星はA-019ですでに見た。