Ａ-019　４次元の正４面体を３次元に投影する

■１■３次元空間では90度で直交する３本の座標軸が設定できるが、４次元空間においては直交する座標軸がもう１本の想定される。正４面体の７本の回転対称軸のうちの４本、つまり重心を介して対の位置にある頂点と面心を結ぶ線は、この４次元直交座標軸の３次元空間への特別な投影と見ることができる。

■２■この４頂点と重心を結ぶ４本の線は、それぞれ互いに109度28分の角度を作る。いわゆる正４面体の中心角である。この４軸直交（この直交は90度で交差するという意味ではない）を、上左図の左端にそれぞれｖ,ｘ,ｙ,ｚ軸として示してみた。なお中図はこの４次元直交座標軸を２次元に投影した図である。

■３■右図は４次元立方体の２次元平面投影への直上に４次元直交座標軸を重ねて示したものだ。このそれぞれの４次元直交軸同士が３次元に作る109度28分の角度は、正４面体角とか、マラルディの角と呼ばれる。自然界の中ではいわゆる90度の直角よりむしろこの角度の方が多く見られることが知られている。

　　　

■４■３次元正４面体の４次元への拡張は正５胞体だ。要素は頂点が５、辺は10、面は正３角形10、胞は正４面体５である。３次元展開図は正４面体の各面に正４面体を貼り付けた形で、これは５つあるダ・ヴィンチの星(プラトン立体の各面に、側面が正３角形の正多角錐を貼り合わせた立体)の１つでもある。

■５■ほかにもデルタ多面体の中のデルタ６面体(※)も展開図の１つだ。なお４次元には４次元立方体の他にも、３次元の正４面体・正６面体・正８面体・正12面体・正20面体に対応する正５胞体・正16胞体・正120胞体・正600胞体、そして対応するプラトン立体のない正24胞体の、６つの正多胞体が存在する。

■６■正４面体の４つの点にもう１点Ｅを加えることで点は５つ、そこから元の正４面体の各点の間に新しく４本の辺ができるので全部で10本、面は全部で10面となる。またこの点Ｅは定義を外さねばどこにもプロットできるので、元の正４面体の１つの面に平行な位置に据えてみたのが上中図右から２番目の図だ。

　　　

■７■単なる正４角錘（ピラミッド形）のようにも見えるが、底面にある点同士はみな線でつながっている。この図のさらに２次元への投影を示したのが上右図左である。５芒星を内包した正５角形の形に見えるが、そこから逆に３次元に立ち上げようとしてみると、その関係が分かるだろう。

■８■なおどこにでも設定できるＥを、３次元ではＤと重なる点に置いてみたのが上右図の中図である。そのままでは単なる正４面体と区別がつかないが、少しだけずらしてみれば線ＡＤ、ＢＤ、ＣＤにＡＥ、ＢＥ、ＤＥが重なっていること、さらに線ＤＥが点Ｄ(Ｅ)上で重なっていることが分かるだろう。(同右図)

■９■もちろんこの点ＥはＡ・Ｂ・Ｃに重ねても同じことだ。いやむしろ３次元の正４面体そのものが実は５重の胞であると４次元視することも可能ではなかろうか。つまり上図のダビデの星形で表わしたものの各面に貼り付けた正４面体を中心の正４面体側に折りたたむという操作をイメージすれば良いのだ。

（※）正４面体を２つ張り合わせた形状の多面体。面６、線６、点５で双対立体は正３角柱。