Ａ-020　正４、正８、正20面体の親和性

■１■５つのプラトン立体を弄んでるうちに、正20面体に正４面体と隙間なくぴったりくっつきあう面があるのに気が付いた。ちょうど正４面体の70.5度と正８面体の109.5度が平角を作るように、正20面体の正４面体の70.5度との接合面が、２つの立体が乗るテーブル面に対して、109.5度を成しているのだ。

■２■下図の上段は、正４面体のそれぞれの面とそれに対応する正20面体上の４つの面とが、共にテーブル面に対して70.5度をなしていることを、暖色系の色で示している。また下段は、元の位置から60度回転した正４面体の各面と、正20面体上の異なる４面とが平行の対であることを寒色系の色で示している。

■３■この下図右の２つの図は、正４面体と正20面体をスライドして、それぞれ平行な３面の方向になっている対を重ねて表現した図であり、内接・外接の関係を示す図ではない。なおこの暖色系と寒色系で示した２つの正４面体それぞれの残る１面は、正20面体の底面も乗っているテーブル面を共有している。

　　　
■４■しかしこのままの位置で、２立体の同じ色同士の面が重なっているということは、テーブル面に対し正４面体の２面角と同じ70.5度を成す面が、正20面体の20面の中に６面あるということを示したに過ぎない。正４面体とぴったり合わさって平角を作る、テーブルに対して109.5度の面はどこにあるのか。

■５■正20面体の面を拡張するとテーブル面に対して70.5度をなす面があるということは、２面角が109.5度である正８面体とそれらの面とは、隙間なくぴったり接するということだ。上に示した真上から見た正20面体の図では、テーブル面上の６つの正８面体が、同時に正20面体と平角を作れるということだ。

■６■ところでこの真上から見た正20面体の図では、反対側にあって見えないままの残る10面が示されていない。そこで下の図では見える側の面を黒い線で示し、見えない側の面の存在を赤い線で示してみた。テーブル面に対して70.5度をなしている６つの面に接しつつ、ちょうど裏側に６つの面が見えている。

■７■これらの６面は最初の６面に対して、それぞれ重心を介して立体の対称的な位置にある。テーブル上で正４面体を正20面体を近づけて行くと、この見えなかった新しい６面は、黄金比の関係で傾いてはいるが、全て正４面体の面とぴったり接する。つまりテーブル面に対して109.5度傾いているのである。

■８■上図では正４面体と正20面体がテーブル上で離れているところ、スライドさせてぴったり接したところ､そして実際は不可能だが２立体を相貫させて､接した面と対称的な位置にある正20面体上の面が、正４面体の面と重なっているところを表している。これらはそれぞれの角度を知らなくても見て分かる。

■９■正４面体・正６面体・正８面体の２面角と中心角が、直角及び±19.5度で３つ巴関係にあるように、２面角138度11分22秒・中心角63度26分の正20面体は、２面角116度33分54秒・中心角41度28分の正12面体との間だけでφを介して密接な関係にあるという思い込みが、この関係性を見逃させていたのだ。

　　正20面体の２面角<138度11分22秒>＋正12面体の中心角<41度28分>＝180度
　　正20面体の中心角<63度26分>＋正12面体の２面角<116度33分54秒>＝180度

■10■上図左は正４面体とその内接球であり、中図はその内接球と外接球を共有する正12面体である。正４面体とは20ある点の内の赤で示した４点のみで接している。右図はその正12面体を外側に面点変換した正20面体である。20面のうちの４点由来の４面の正３角形のみが､この正４面体の４面と重なっている｡

■11■下の図の中央にある図は、前図の正20面体を切り出したもので、４つの面にのみ色が付けられている。外側の正４面体の４つの面とどのように重なっているのかが分かり易いよう、左図は奥側の２面とそこに接している２面を、右図は手前の２面とそこに接している２面を、同じ色で重ねて表現してみた。

■12■正20面体底面の正３角形は、正20面体のトップにある正３角形と逆向きである。この関係は、正４面体の５重自己相貫体の内部重畳部分である正20面体の各面が、それぞれの正４面体の４×５面に由来することと、右手系と左手系合わせて10の正４面体の自己相貫体が存在していることを想起させられる。

　

■13■この正20面体を内包する正４面体にあと４つ正４面体を加えて、正４面体の５重自己相貫体を作ってみよう。するとその内部に５つの正４面体全てが重畳する部分として正20面体ができる。５個の正４面体のそれぞれの４面が、正20面体の20の面と重なるのだが、これは最初の正20面体そのものでもある。