Ａ-021　正４面体内の極小曲面

■１■正４面体から２本の稜線を取り除いたフレームをシャボン玉液に浸けて取り出すと、４頂点全てに触れる石鹸の膜は、図のように表面積が最少の「極小曲面」になる。この形は面上のどの点でも、平均曲率がゼロになっている。すなわちこの正４面体の空間を圧力の等しい２つの領域に分割しているのだ。

■２■万事を２元論的に把握する２値の論理に対する４値論理には、Ａ、Ｂ、ＡＢどちらも、ＡＢどちらでもないの「２値２階」の論理構造と、ＡかＢかの２値セットとＣかＤかの２値セットを掛け合わせる「２値２乗」の論理構造があり､どちらも４値元を正４面体の４頂点にプロットしてモデル化できた｡(※)
　　　

■３■２値の場合は１次元の線分の両端に２元を配置して、個別の視座スペクトルの度合いを線上の位置で表現することができる。そして４値の場合は２値に対応させた線分２本を直交に立体交差させ、正４面体の端点に４値をプロットして表現した。だが個別の様々な視座の位置座標までは表現できなかった。

■４■４値論理の全体構造は正４面体となるのだが、各自個別のケースでは上述の正４面体の内部空間を２分割する「極小曲面」上の点の位置で表現することができるだろう。逆に言えば正４面体構造の表面や内部の全てにプロットできるのではなく、正４面体の中の極小曲面上にだけプロットできるのである。

　　　

■５■正４面体のフレームを作ってシャボン玉液に浸けて引き上げる。すると表面積を最小にしようとする表面張力が働くために、そこには何もない重心の位置を中心に、109.5度と２つの35.25度からなる２等辺３角形が６面できる。最も安定するこの109.5度は正４面体の中心角、つまりマラルディの角度だ。

■６■この６面の２等辺３角形のうちの、対の位置にある２面（ここでは左図の美−醜ラインと中心、及び正−邪ラインと中心で作る２等辺３角形）を針で突いて消すと、残る４面のシャボン玉膜は自然に連動して１面の極小曲面となり安定する。この面はフレーム内の正４面体の体積を２等分することになる。

(※)ここで用いた「正−邪」や「美−醜」は、二元対の一例をマーカーとして用いているだけなので、字義そのものには特に深い意味はない。