Ａ-022　正４面体の中のプラトン立体

■１■プラトン立体は正４面体、正６面体、正８面体、正12面体、正20面体の５種類しかないが、それぞれ３つの接球を有するので、みなそれぞれの立体を内包することができる。面点変換可能な双対関係のペアはイメージできるが、それ以外はどんな形になるのだろう？まずは正４面体でそれらを見てみよう。

■２■先ずは正４面体の中の正４面体だが、すでに見たとおり内側に面点変換したもので、逆向きで体積が１／27になる。また正４面体と正６面体・正８面体の関係はさほど難しくない。正６面体の接点は正４面体と同じ面心で、８つある頂点の４つと接する。正８面体とは６頂点と６つの線心とで接している。

■３■前者は内接球−外接球共有であり、後者は中接球−外接球共有である。
正12面体とは、その20個ある頂点の内の４つと面央で接している。これは内接球−外接球共有である。正20面体は正12面体の面点変換として見ることができる。それぞれ20ある面の４面で接するが、黄金分割比の関係から傾いている。

　　　

■４■後でそれぞれの関係を見るつもりだが、簡単に他のプラトン立体の中のプラトン立体も見てみよう。まずは正６面体の中の４つのプラトン立体だ。正６面体と外接球を共有する正４面体は、正６面体の８頂点の内の４つを共有し、６面の対角線と６本の線が重なる。正８面体とはシンプルな面点変換である。

■５■正12面体は20個ある点の12点もしくは30本ある線の内の６本とで、正６面体の６面と接している。また正20面体は12個ある点全てもしくは30本ある線の内の６本とで、正６面体と接している。それぞれ対の位置にある線の直交関係に注意。正６面体の面上にある、正12面体と正20面体の線も直交している。

　　　

■６■次は正８面体の中の４つのプラトン立体だ。正４面体と正６面体は外接球を正８面体の内接球と共有している。正12面体と正20面体は、面に接する頂点及び線に接する頂点が黄金分割比で傾きずれている。この双対立体は正８面体の各面の上でも面点変換しているが、その傾き（回転）の角度にも注目だ。

　　　

■７■次は正12面体。ここでも正４面体と正６面体は、正12面体の20個の点の内の４点及び８点を共有している。正６面体にはこの他にもあと４種類の内包のされ方があり、全部で５重の空間対称性を有している。正４面体はそれぞれに対があるので、右手系と左手系の２種類の５重自己相貫立体が想定できる。

■８■そしてその正６面体を面点変換すれば、正８面体の内包構造における空間の位置と対称性も予見できる。正６面体の12本の線が正12面体の12面とどのように接しているか、また正８面体の６頂点が正12面体の30本の線のどの位置で接するか確認のこと。正20面体は単純に面点変換による接球共有の関係だ。

　　　

■９■プラトン立体同士の間の双対関係、面点変換、内接球−中接球−外接球の関係、５重対称性などを丁寧に組み合わせて眺めれば、このフレームで表した平面的な図から、プラトン立体同士の関係を立体的に見て取ることができるだろう。しかしまずは欲張らすに１つ１つを丁寧に眺めることから始めよう。