A-023　正４面体の２面角、中心角、そして直角

■１■正４面体の２面角は70.5度、中心角は109.5度だった。この直角からの±19.5度は非常に重要な角度だ。この数値は地球の赤道傾斜角23.4度及び月の公転・自転周期27.3日とは、数値上５：６：７である。またこの19.5度は､マヤ暦のキーナンバーの13及び260のホロンである26とは、２：３：４である。

　　　　19.5：23.4：27.3＝５：６：７
　　　　　　13：19.5：26＝２：３：４

■２■正４面体と正８面体とはウマが合う。２つがより沿うとぴったり合わさり平角を作る。いや合うのはウマでなく、２角の直角からのずれだ。そしてこの±19.5度を等化した２面角を持つのが正６面体だ。プラトン立体を用いた空間の充填は正６面体だけ、または正４面体と正８面体の組み合わせで可能だ。

■３■正４面体の２面角と中心角について見てきたわけだが、｢水平線と垂直線のなす角度｣と定義された<直角>とは何だろう。左図は円の直径両端の点ＡＢと、円周上を滑る点Ｃを結んでできる３角形の幾つかを描いたものだ。注目すべきはＣがどこを滑っていても、角ＡＣＢは直角であることを示している。

■４■これは｢万物の根元は水(アルケー)である｣と言った、あのギリシアの哲学者タレスが発見したもので、｢タレスの定理｣と言われている。もちろんこれにも例外がある。つまり点Ａと点Ｂ上にＣが重なった場合、３角形は潰れてしまうので、平面の４分割や空間の３軸直交などから来る直角は消えてしまう。

■５■なおこの半円周上を滑る直角３角形でも、頂点Ａと頂点Ｂの２角が70.5度と109.5度になる位置はある。このタレスの定理の半円周の上で、頂点Ａが70.5度及びその２倍・３倍・４倍の時の頂角Ｂの角度との比を、頂点Ａを13に固定して見た時Ａ：Ｂの関係が、下の表になる。５倍以上は今は考慮しない。

■６■またこの２つの角度の差は19.5度の倍の39度だが、この角度と360度との比は39：360＝13：120である。なお直角からのこの２つの角度のずれは19.5度なので、70.5℃と109.5度と表現したが、より正確に言えば19度28分（＝19＋28／60度）である。よってこの２つの角度は70度32分と109度28分である。



■７■なおすでに<Ａ-006>でも見たが、上図左に示したように直径ＡＢを３等分した位置から垂線を伸ばして、半円周との交点をＸとしよう。円の中心でもあるＡＢの中点をＯとすると、角ＡＯＸは70.5度になり、角ＢＯＸは109.5度になる。逆三角関数arcos(-1/3)などを使わずにこの２角を出せるのである。