Ａ-006　サークルゲノム上の正４面体の２角

■１■先ず半径１の円を考える。次にこの円の中に半径１／２の円を２つ内接させると､この半径１の円と半径１／２の円の隙間には､半径１／３の円が２つすっぽりと収まる。さらに半径１と半径１／２と半径１／３の円の隙間には、半径１／６の円が４つぴったりはまり込む。これをサークルゲノムと呼ぶ。

■２■この半径が１,１／２,１／３の３つの円の中心点を結ぶと、辺長比が３:４:５の直角３角形が描ける。この直角３角形にすっぽり内接する円を描くと､その円は直径２､半径１になる。なおこの円は半径１と１／２と１／３の円の間にさらにはまり込んだ、４番目の半径１／６の小円と同じ大きさである。

■３■この辺長比３:４:５の直角３角形の比のまま背景に格子を描けば、全体は12×12の格子の中に納まることが分かる。そしてこの半径１、１／２、１／３、１／６の円の半径はそれぞれ６、３、２、１となることも分かるだろう。なお辺長比３:４:５の直角３角形の面積は６、３辺の和は12、積は60である。
　

■４■ではこのサークルゲノムから、正４面体の中心角を描きだしてみよう。見やすいように一番小さい円は省き、図のように半径１／２の２つの円を縦に、半径１／３の円を横に配置させよう。左側の半径１／２の円の右端から垂線を引き、半径１の円周との交点､中心点､右の端点を青い線のようにつなぐ。

■５■この角度が正４面体の中心角109度28分16秒に相当する角度である。この角度を三角法で表現するとarcos(-1/3)となる。しかし難しい計算をしたり精密な分度器を使うことなく、この重要な角度をコンパスと定規だけで描くことができるのである｡なお水平線左側の補角(※1)は正４面体の２面角である｡

　　　109度28分16秒→正４面体の中心角、正８面体の２面角
　　　 70度31分44秒→正４面体の２面角、正６面体の中心角
　　　 90度(直角)　→正８面体の中心角、正６面体の２面角

■６■「自然は無駄をしない」という表現があるが、この角度は自然界の中では直角よりも多数見受けられる。シャボン玉の泡同士の成す角度とか、メタンの中心にある炭素原子と４つの正４面体の頂点の位置にある水素原子を結ぶ腕の角度でもある。つまりこの角度が一番安定する角度であるということだ。

■７■この109.5と言う数は､角度に限らず様々なところにも顔を出している｡例えば太陽直径上に地球は約109.5個並び、地球と太陽の間の距離(特に遠日点距離)には､太陽が約109.5個並ぶ。さらに月と地球の間は､月が約109.5個入る距離でもある。もっとシンプルに109.5／３＝36.5で年のホロンである(※2)。

（※1）２角の和が２直角であるとき，その２角を互いに補角であるという。
（※2）太陽の直径は1392000kmであり、地球の直径は12742kmである。したがって単純計算では太陽の直径上に地球が109.245個並ぶということだ。また地球の平均公転半径、つまり１AU（天文単位）は 149,597,870 kmだが、遠日点距離は152141033.8km (＝1.017 AU)で、この地球−太陽間の最大距離には太陽が109.2967個並ぶ。この地球と太陽の関係に見る２つの数値比は、そのまま正４面体の中心角109.5度を想起させる。