A-006 サークルゲノム上の正4面体の2角

 

■1■先ず半径1の円を考える。次にこの円の中に半径1/2の円を2つ内接させると、この半径1の円と半径1/2の円の隙間には、半径1/3の円が2つすっぽりと収まる。さらに半径1と半径1/2と半径1/3の円の隙間には、半径1/6の円が4つぴったりはまり込む。これをサークルゲノムと呼ぶ。

■2■この半径が1,1/2,1/3の3つの円の中心点を結ぶと、辺長比が3:4:5の直角3角形が描ける。この直角3角形にすっぽり内接する円を描くと、その円は直径2、半径1になる。なおこの円は半径1と1/2と1/3の円の間にさらにはまり込んだ、4番目の半径1/6の小円と同じ大きさである。

■3■この辺長比3:4:5の直角3角形の比のまま背景に格子を描けば、全体は12×12の格子の中に納まることが分かる。そしてこの半径1、1/2、1/3、1/6の円の半径はそれぞれ6、3、2、1となることも分かるだろう。なお辺長比3:4:5の直角3角形の面積は6、3辺の和は12、積は60である。

   

■4■ではこのサークルゲノムから、正4面体の中心角を描きだしてみよう。見やすいように一番小さい円は省き、図のように半径1/2の2つの円を縦に、半径1/3の円を横に配置させよう。左側の半径1/2の円の右端から垂線を引き、半径1の円周との交点、中心点、右の端点を青い線のようにつなぐ。

■5■この角度が正4面体の中心角109度28分16秒に相当する角度である。この角度を三角法で表現するとarcos(-1/3)となる。しかし難しい計算をしたり精密な分度器を使うことなく、この重要な角度をコンパスと定規だけで描くことができるのである。なお水平線左側の補角(
1)は正4面体の2面角である。

   109度28分16秒→正4面体の中心角、正8面体の2面角
    70度31分44秒→正4面体の2面角、正6面体の中心角
    90度(直角) →正8面体の中心角、正6面体の2面角

■6■「自然は無駄をしない」という表現があるが、この角度は自然界の中では直角よりも多数見受けられる。シャボン玉の泡同士の成す角度とか、メタンの中心にある炭素原子と4つの正4面体の頂点の位置にある水素原子を結ぶ腕の角度でもある。つまりこの角度が一番安定する角度であるということだ。

■7■この109.5と言う数は、角度に限らず様々なところにも顔を出している。例えば太陽直径上に地球は約109.5個並び、地球と太陽の間の距離(特に遠日点距離)には、太陽が約109.5個並ぶ。さらに月と地球の間は、月が約109.5個入る距離でもある。もっとシンプルに109.5/3=36.5で年のホロンである(
2)。



1)2角の和が2直角であるとき,その2角を互いに補角であるという。
2)太陽の直径は1392000kmであり、地球の直径は12742kmである。したがって単純計算では太陽の直径上に地球が109.245個並ぶということだ。また地球の平均公転半径、つまり1AU(天文単位)は 149,597,870 kmだが、遠日点距離は152141033.8km (=1.017 AU)で、この地球−太陽間の最大距離には太陽が109.2967個並ぶ。この地球と太陽の関係に見る2つの数値比は、そのまま正4面体の中心角109.5度を想起させる。