Ａ-007　正４面体の中心角(マラルディの角度)

■１■正４面体の中心と各頂点とを結ぶ４本の直線が互いにつくる角度、すなわちarcos(-1/3)＝109°28′16"…は、マラルディの角度(Malardi's angle)とも呼ばれている。この角度は18世紀に活躍したイタリア生まれの天文学者のジャコモ・フィリッポ・マラルディが、蜜蜂の巣の底面で発見した角度である。

■２■６角柱が集まった形をしている蜜蜂の巣の底面は、菱形３枚から構成されている。この菱形は辺長比が１：√２の長方形(白銀長方形)の４つの線心を結んでできる形状だ。マラルディはこの２つの内角の鈍角の方がこの角度になっていることを見出したのだ。この角度は自然界の様々なところに顔を出す。

■３■石鹸の泡はいろいろな大きさの泡細胞からなっているが，表面張力が働いて境界の長さを極小化しようとするので、接合角度は120度になる。このことから石鹸の泡は、各頂点の数が全て３である平面図形の集まりと見ることができる。３次元では１点に４本の線が集まり、マラルディの角度をなすのだ。

　　　

■４■正４面体上で考えてみよう。各頂点に集まる３面の角度は、真上から見れば底辺に投影したように120度に見えるが、立体として捉えれば各頂点から中心に集まる４本の線が互いに作る角度は109度28分16秒、すなわちマラルディの角度となる。これが石鹸膜が接触する場合の基本的な角度に等しいのだ。

■５■正６面体と正８面体の中接球を共有してできる相貫体の、14ある頂点を結ぶと菱形12面体ができる。この立体の12ある各面もまた、対角線比が１：√２の菱形である。正６面体の重心と各頂点を結んでできる６つの４角錐を、正６面体の各面を介して外側にひっくり返してできる立体も菱形12面体である。

■６■正８−６相貫体の頂点を結ぶと菱形12面体になるが、２つの立体の内部の重畳部分はベクトル平衡体という形になる。この時のベクトル平衡体・正６面体・正８面体・菱形12面体の体積比は５:６:８:12である。ベクトル平衡体・正６面体・正８面体・菱形12面体は単独で空間の最密パッキングが可能だ。

　　　

■７■この形は結晶にもしばしば現れる。ガーネットの結晶はこの菱形12面体の構造をしている。有機化学の領域でも、ヘキサメチレンテトラミンは見事な菱形12面体の結晶を作ることが知られている。最も単純な炭化水素メタンの水素−炭素−水素の結合角はマラルディの角度で、正４面体構造になっている。

■８■炭素についた４つの水素原子は互いに反発して互いにできるだけ遠ざかろうとして、最も安定した位置に落ち着いたのが正４面体構造であり、炭素を中心にして互いに安定する角度が、このマラルディの角度になるのである。マラルディの角度はその形になって最も安定する自然の摂理の角度なのである。

　　　

■９■直角＋19.5度の109.5度と、その補角である直角−19.5度の70.5度は、正４面体の中心角と２面角として現れているが、３次元の中で３軸直交している正６面体の中にも、この重要な２つの角度が潜んでいる。各頂点と中心角が為す角度のうち鋭角の方が中心角70.5度だが、鈍角の方は109.5度をなする。