   （２５２）φを生む角度と正４面体の２角 
５芒星、ペンローズ・タイルの敷き詰め問題、デューラーの作品「メランコリアⅠ」の中に描かれている立体は黄金比と関係している。そしてこれらはみな３６０度の１／１０の３６度が単位ユニットとなり、その２倍、３倍、４倍である７２度と１０８度、１４４度という角度から構成されている。このことからも１０進法（そしてペンターブシステム）と黄金比が深い関係にあるということは予測できる。そこでこの基本単位３６度の２倍の７２度、そして３倍の１０８度について見てみよう。平面を準周期的に埋めていく、つまり決まった１つのパターンではないが全体的に見れば５重対称性のフラクタルな繰り返しパターンになっている、ペンローズタイルの敷詰め。そしてその３次元版はやはり黄金比を内包している太った斜方６面体と痩せた斜方６面体を用いて達成される。
この５芒星の外側にある、谷間の角度１０８度を１０９．５度に変えてみると、星型の頂点の角度は３６度から３９度になる。そして全体としては少しだけ内側から外に向けて膨らんだ形の５芒星になる（赤い星型の部分）。またこのペンローズの敷詰めタイル２つを合わせた形の菱形は、対角線の長さが１：φになっているが、これは菱形３０面体（正１２面体と正２０面体の相貫体の頂点を結んだ時にできる立体）の３０枚の面の形である。この菱形の７２度の角を７０.５度にすると１０８度の方の角は１０９.５度になり、菱形１２面体の１２枚の面の形になる（右図赤い点線の菱形部分）。この場合対角線は１：√２である。この関係をプラトン立体の３種類の相貫体の頂点を結んでできる３つの立体のそれぞれの面（菱形を成す）の対角線比として見ると以下の通りになる。ＺＯＮＥ－３(３１１)参照のこと。 ＜正４面体－正４面体＞の相貫体からできる、対角線比が１：１の菱形面からなる立体は正６面体である。角度は９０度と９０度。 また下の２つの図は、上のバビロニア－エジプト起源と言われる直角９０度、平角１８０度、１周３６０度の角度表記に対する共形変換である。上図Ａはそのまま、下図Ｂはマヤ的な２６０を１周に対応させた表記であり、同じく下図Ｃはメートル法の直角１００グラード度、平角２００グラード度、１周４００グラード度のグラード度表記対応である。黄金比に関して言えば、その角度表記が変わっても比率自体は変わらない。ただし円周を黄金比で分割する時の表現の数値（これを黄金角もしくはオクタビアンスという）は変わるので、それを明記しておこう。また黄金比を作るなじみの３６度の倍数群の変換数も対比しておこう。Ａ’：Ｂ’つまり１８：１３の数値の差の数列が１０，２０，３０，４０…となっていることに気づいただろか。 Ａ）１周３６０度の円周を黄金分割する２点の角度：１３７．５度と２２２．５度 なおＡとＢの数値的比率は１８：１３であり、ＢとＣは１３：２０であり、ＡとＣは９：１０である。このＡとＢの関係がバビロニア－エジプト起源と言われる１２－６０進法と、マヤもしくはメソアメリカ起源と言われる１３－２０進法との変換関係である。そしてＢとＣの関係の中にこのマヤもしくはメソアメリカの純粋な１３－２０進法が存在している。なおＡとＣの関係は９：１０であり、この比率はこの現在の地球に対応したマヤの計時法の歪みもしくはずれとその修復の比が見て取れる。地球におけるこの３つの数の論理は元を辿っていけば全てがリンクするのではないだろうか。そして１０進法と１２進法、１２と反転の１３の関係、及び９と１０の１０進法と常用対数的関係なども見えてくる。この３つとの数の論理のどれにも偏らずに等距離で見る時、そこに一体何が立ち上がってくるのだろう。しかしそれを追求する前に私たちは先ず、次のＺＯＮＥ－３でプラトン立体というさらなる立体万華鏡を、様々な角度から覗き込むことになるだろう。
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