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| 正多面体はそれぞれ同一の角度、同形の面、同長の線で構成されている根源的な３次元立体である。それは正４面体、正６面体、正８面体、正１２面体、正２０面体の５つで、完全な対称性を有している。そのため正多面体だけが、全ての頂点と接する外接球、全ての線心と接する中接球、全ての面心と接する内接球を持っている。この正多面体はそれを研究したギリシアの哲学者の名にちなんで、プラトン立体とも呼ばれている。 ５つのプラトン立体において面点変換のできる双対立体は＜正６面体−正８面体＞、＜正１２面体−正２０面体＞、そして正４面体は自身と双対なので＜正４面体−正４面体＞であった。このミクロ−マクロ方向に面点変換できる２者を左右に配し、中接球を共有させて空間的に直交させた相貫体をその中心に据えてみよう。そしてこの相貫体の全ての凸部分つまり角錐を取り去った立体（２立体の重なった部分の形）を相貫体の上に乗せ、逆にその全ての角錐の頂点をつないだ時にできる立体を下に置いてみよう。するとこの３つの双対立体の組は、それぞれ下のような同型の５つ組の関係構造となる。この５つ組構造において左右はもちろんだが、上下もまた面点変換が可能な立体のペアとなっている。つまり＜ベクトル平衡体−菱形１２面体＞及び＜12・20面体−菱形３０面体＞もまた双対立体なのである。 なお＜正４面体−正４面体＞をカップリングして全ての頂点をつないだ時にできる立体は正６面体で、その１つの面の対角線の比率は１：１である。＜正６面体−正８面体＞のそれからできる立体は菱形１２面体で、同じく１つの面の対角線の比率は１：√２である。そして＜正１２面体−正２０面体＞からは、１つの面の対角線の比率が１：φの菱形３０面体ができている。
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（３１１）５つのプラトン立体と５の構造
