さて(２３１)で見た３つの接球の１つ「中接球」を共有させて、２つの正４面体を対称的な位置で相貫させてみよう。するとこの２つの正４面体の６本ずつの辺が全て２本ずつ直交して、上図中央のような形になる。この形は通常「ケプラーの星型８面体」と呼ばれている。またこの図からも正４面体の６本の線は、１つの正６面体の６つの面全ての対角線となっていることがわかるだろう。すなわちこの正６面体は元の正４面体と外接球を共有しているのである。そして元の正４面体の中接球がこの正６面体の内接球になっているのだ。

　このケプラーの星型８面体をラフに作図する時は、まず細い線で正６面体を描き、そのそれぞれの面の頂点を対角線上に結んでＸを描いてから、面心をつないでいけば思っているよりたやすく描ける（上図中央）。なおベクトル平衡体を描く時はやはり最初に正６面体を描いてから、その線心をつないで各面に４５度回転した正方形を入れていけば、これまたたやすく作図することができるのだ（２４３節の図参照）。

　次に下図を見てほしい。真ん中の図は同じくケプラーの星型８面体だが、その８つの頂点を結んでできる立体の形を強調したのが左図である。ここにできる立体は正６面体だ。また今度は逆にこの２つの正４面体が貫き合って重なっている部分の形を強調したのが右図である。できる立体は正８面体。なお真ん中のケプラーの星型正８面体に対して、左側の正６面体は外接球を共有し、また右側の正８面体は中接球を共有している。すでに正４面体の外接球・中接球・内接球は見てきた。しかしここでよく下図を見てみよう。この「正４面体を２重に自己双貫させて正６面体と正８面体を顕現させる図」はまた、真ん中の図を取り払ってしまえば単に「正６面体と正８面体の面点変換の関係の図」になっているということが見て取れるだろう。