ここで再びテトラクティスを思い出してみよう。上の図の黄緑色で示したように４の３角数は１０であり、４の４角数（平方数）は１６なのだが、そもそもこの円はピュタゴラスの考えに沿って点を完全さに輝く円として見てみたものだった。これを今再びユニットとしてその界面をなす点を結ぶと図の中央のようになる。その結果として４角数はそのまま１６ユニットの正方形となるが、３角数の方もまた１０ではなく１６になることが分かるだろう。

　次にこれを１つ立ち上げて正４面体と正６面体で考えてみよう。すると１辺４単位の正６面体の体積は４の立方数６４（＝４Ｘ４Ｘ４）ユニット分になるが、１辺４単位の正４面体の体積は４の正４面体数２０ユニット分になるのではなく、こちらもまた６４ユニット分になる。これは多面体の１辺が１，２，３，４…となるに連れて、その面積は１，４，９，１６…となり、体積は１，８，２７，６４…となる関係の現われなのだが、正４面体の１段目、２段目、３段目、４段目…の各段の体積は下の図のように１，７，１９，３７…となっている。そしてその段までの和が１，８，２７，６４…となっているのである。このことから多面体の１辺が１増加するごとにその体積増加分が、正４面体の新たなる１段の体積増加分となって表われていることが分かる。

　なおこの正４面体の新たなる１段ずつの体積増加分は、（２１４）の平面の充填と空間の充填で見た「波紋状６角数」角校数１，７，１９，３７…と同じである。つまりこの平面を同心円状に充填していく波紋状６角数分だけずつ、立体の体積は増加していくのだ。