■フィボナッチ数列は連続する２項の和がそれに続く３番目の項に等しい。直角３角形の直角を挟む２辺の２乗の和は対辺の２乗に等しい。ピュタゴラスの定理だ。これらから、フィボナッチ数列の中の連続する３項の正の平方根はピュタゴラスの定理を満たすので、直角３角形の３辺となることが分かる。

■辺長比１：１：√２、１：２：√２、１：√２：√３、√２：√３：√５、√３：√５：２√２、√５：２√２：√13…とそれぞれ１つ項数をずらしてできる３角形は全て直角３角形になる。そしてそれは最初の辺長に比べて莫大な大きさになるが、比率は３辺が１：√φ：φの直角３角形へと漸近していく。

■またこの連続する直角３角形を、１点を中心にフィボナッチ数列の平方根を１つ飛ばしで同長の辺を順次重ねることで、繋ぎ合わせた直角３角形の渦巻きで螺旋が描かれていくことを見て取れるだろう。もっとも正の平方根という無理数を用いた時点で自然数を連ねたフィボナッチ数列を逸脱してはいるが。

＜項数＞ １ ２ 　３ 　４ 　５ 　６ 　７ 　８ 　９ 　10 　11 12 　 13…
Fib.Num. １ １ 　２　 ３ 　５ 　８ 　13　 21　 34　 55　 89 144　233…
F.N.Root １ １ √２ √３ √５ √８ √13 √21 √34 √55 √89 12 √233…

　

■それを承知の上で、もう一度この数列の第12項を見ると、１以外で唯一の自然数12（＝√144）になっている。これより前の数は全てその項数を表す整数より小さいし、またこれより後の数は全てその項数を表す整数より大きいということが分かる。ここにも12という数の数々の特異性の１つが見て取れる。

■またフィボナッチ数列は隣り合う２項同士を乗除することで黄金比φもしくはその逆数の近似値が出てきたが、この数列で同じ操作をすると黄金比の平方根の近似値が出てくる。さらに１つ飛びの項数同士だとφが、２つ飛びだと黄金比の(３／２)φが、３つ飛びだとφ^２がそれぞれ近似値で顔を見せる。

φ-004　黄金数列とピュタゴラスの定理